y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까? & 유리화는 왜하는걸까?

안녕하세요. 일반청의미입니다.

이 칼럼은 이 글에 담긴 생각을 바탕으로 쓰게 되었습니다. 

공부의 양은 어떻게 정할까? : http://orbi.kr/0008692499

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가장 쉬운 방식으로 개념을 이해해야해요 : http://orbi.kr/00010794675

이차방정식의 해법 해설 + 평행이동할때 왜 점은 +a인데 그래프는 -a일까? : http://orbi.kr/00010789384
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저번주의 칼럼은 바로 이거였어요!

곡선 위의 점의 접선 해설 & y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까? : http://orbi.kr/00010980265

정답갑니당.

A : y=0 말고 y=1/2x도 접선, y=-1/2x도 접선…. 그러면 접선이 매우 많아지죠.

원점을 지나고 기울기가 -1에서 1 사이인 직선 모두가 접선이 됩니다.

모두가 원점을 스치면서 지나가니까요

접선의 정확한 정의는 미분계수를 기울기로 갖는 직선입니다.

미분계수는 그래프 위 두 점 사이의 기울기의 극한이며, 접선의 정확한 정의는 할선의 극한입니다.

할선의 극한이라는 말이 애매하지만, 극한의 정의로 미루어보면 극한값이 존재하려면, 좌극한과 우극한이 같은 값으로 수렴해야 합니다.

직선으로 확장시켜보면, 좌측에서 가까워져 가는 할선과 우측에서 가까워지는 할선의 극한 모두 한 직선으로 일치해야 합니다.

이렇게요!

좌극한과 우극한이 다르면 극한의 정의에 의해 어떤 것에 가까워진다고 단정짓기 애매하니까요! 그 사이 어떤 값을 택해야할지 애매한 것입니다.

우리는 한점에서 직선을 그을 수 없습니다. 하지만 접선은 그을 수 있게 된 이유는 극한을 통해 그 직선을 정확하게 하나로 결정할 수 있었기 때문입니다. 결정할 수 없다면? 당연히 한점에서 직선을 그을 수 없으니, 접선이 정해지지 않겠죠! 보통 뾰족점에서 접선이 무한히 많이 생깁니다. 이것을 첨점이라 하며, 그 점에서 함수는 미분 불가능합니다.

x값에 그 값에서의 미분계수가 y값이 되어 대응되는 함수를 도함수라 합니다.

도함수도 함수입니다! 즉 x값 하나에 y값 하나가 대응되어야하며, 도함수가 존재하려면 원함수가 정의되는 곳에서 모두 미분 가능해야 합니다.

접선이 많으면, 대응되는 접선의 기울기가 1개 이상이기 때문입니다.

Q : 그렇다면 왜 y=|f(x)|에 미분 불가능한 점이 생길 가능성이 있을까요?

절댓값의 정의는 수직선 위의 원점에서 어떤 점까지의 거리입니다. 항상 양수에요.

절댓값 기호 안의 값이 음수일 때는 마이너스가 붙어서 양수가 됩니다.

절댓값 기호 안의 값이 양수일 때는 f(x), 절댓값 기호 안의 값이 음수일때는 –f(x).

즉, 함숫값의 부호가 바뀔 때 함수또한 바뀐다는 것입니다!

서로 다른 함수 y=f(x)와 y=–f(x)가 이어져 있습니다. f(x)가 모든 실수에서 미분가능한 함수라 하더라도 y=f(x)와는 다른 함수 y=-f(x) 두개가 이어져있을때 미분 가능한지는 알 수 없습니다.

즉 함수가 바뀌는 부분에서 미분가능한지를 조사해야합니다.

함수가 바뀌는 부분이 어디인지에 주목하면 미분가능성 문제를 수월하게 풀 수 있습니다.

1. 1. f(x)와 에 절댓값이 붙어있다. 이 절댓값 함수는 어디에서 바뀔까?

2. 2. f(x)는 x=-1에서 함수가 바뀐다. 그러면 이것을 기준으로 나눠주면 될거야.

3. 3. 는 어디에서 함수가 바뀔까?

……………….

이런 식으로 문제풀이가 진행됩니다.

1. 1. g(x)가 절댓값이 두개 붙어있다. g(x)는 x에 따라 함수식이 바뀔거야.

2. 2. 바깥의 절댓값을 생각하기엔 안의 절댓값 때문에 정확하게 알 수가 없다.

3. 3. 일단 맨 안쪽의 절댓값부터 생각해보자. X=0 좌우에서 함수가 바뀔거야.

4. 4. X=0 주변에서는 함숫값이 1 근처일거야. 그 주변에서는 항상 양수일거야.

5. 5. 함수가 바뀌는데 어떻게 미분가능할 수 있을까?

6. 
   

7. 6. X가 0이상에서는 함수가 언제 바뀔까?

8. 7. 함수가 바뀌는데 어떻게 미분가능할 수 있을까?

사실 문제를 풀 때, 계산을 전혀 할 수 없어서 문제를 못푸는 경우보다는

문제를 풀기위한 아이디어가 부족해서 못푸는 경우가 많습니다.

그러므로 그 아이디어를 계속 고민해야하며, 그 근거는 개념에 있습니다.

사실 많은 분들이 예견해주신듯 합니다..ㅋㅋㅋ

요약하자면, 극한값은 좌극한과 우극한이 일치해야 존재합니다.

일치하지 않으면, 그 사이의 어떤 값으로 가까워지는가를 설명하기 힘들기 때문입니다.

그러면 다음주제를 소개해볼게요

유리화는 왜 하는걸까?