우리는 한점에서 직선을 그을 수 없습니다. 하지만 접선은 그을 수 있게 된 이유는 극한을 통해 그 직선을 정확하게 하나로 결정할 수 있었기 때문입니다. 결정할 수 없다면? 당연히 한점에서 직선을 그을 수 없으니, 접선이 정해지지 않겠죠! 보통 뾰족점에서 접선이 무한히 많이 생깁니다. 이것을 첨점이라 하며, 그 점에서 함수는 미분 불가능합니다.

x값에 그 값에서의 미분계수가 y값이 되어 대응되는 함수를 도함수라 합니다.

도함수도 함수입니다! 즉 x값 하나에 y값 하나가 대응되어야하며, 도함수가 존재하려면 원함수가 정의되는 곳에서 모두 미분 가능해야 합니다.

접선이 많으면, 대응되는 접선의 기울기가 1개 이상이기 때문입니다.

Q : 그렇다면 왜 y=|f(x)|에 미분 불가능한 점이 생길 가능성이 있을까요?

절댓값의 정의는 수직선 위의 원점에서 어떤 점까지의 거리입니다. 항상 양수에요.

절댓값 기호 안의 값이 음수일 때는 마이너스가 붙어서 양수가 됩니다.

절댓값 기호 안의 값이 양수일 때는 f(x), 절댓값 기호 안의 값이 음수일때는 –f(x).

즉, 함숫값의 부호가 바뀔 때 함수또한 바뀐다는 것입니다!

서로 다른 함수 y=f(x)와 y=–f(x)가 이어져 있습니다. f(x)가 모든 실수에서 미분가능한 함수라 하더라도 y=f(x)와는 다른 함수 y=-f(x) 두개가 이어져있을때 미분 가능한지는 알 수 없습니다.

즉 함수가 바뀌는 부분에서 미분가능한지를 조사해야합니다.

함수가 바뀌는 부분이 어디인지에 주목하면 미분가능성 문제를 수월하게 풀 수 있습니다.

1. f(x)와 에 절댓값이 붙어있다. 이 절댓값 함수는 어디에서 바뀔까?
2. f(x)는 x=-1에서 함수가 바뀐다. 그러면 이것을 기준으로 나눠주면 될거야.
3. 는 어디에서 함수가 바뀔까?

……………….

이런 식으로 문제풀이가 진행됩니다.

1. g(x)가 절댓값이 두개 붙어있다. g(x)는 x에 따라 함수식이 바뀔거야.
2. 바깥의 절댓값을 생각하기엔 안의 절댓값 때문에 정확하게 알 수가 없다.
3. 일단 맨 안쪽의 절댓값부터 생각해보자. X=0 좌우에서 함수가 바뀔거야.
4. X=0 주변에서는 함숫값이 1 근처일거야. 그 주변에서는 항상 양수일거야.
5. 함수가 바뀌는데 어떻게 미분가능할 수 있을까?
6. X가 0이상에서는 함수가 언제 바뀔까?
7. 함수가 바뀌는데 어떻게 미분가능할 수 있을까?

사실 문제를 풀 때, 계산을 전혀 할 수 없어서 문제를 못푸는 경우보다는

문제를 풀기위한 아이디어가 부족해서 못푸는 경우가 많습니다.

그러므로 그 아이디어를 계속 고민해야하며, 그 근거는 개념에 있습니다.

사실 많은 분들이 예견해주신듯 합니다..ㅋㅋㅋ

요약하자면, 극한값은 좌극한과 우극한이 일치해야 존재합니다.

일치하지 않으면, 그 사이의 어떤 값으로 가까워지는가를 설명하기 힘들기 때문입니다.

그러면 다음주제를 소개해볼게요

유리화는 왜 하는걸까?

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물1생1전사 · 680798 · 17/02/05 21:09 · MS 2016

Lim (a-b)와 같은 형태에서 a,b 둘다 발산하는 형태이면 극한의 연산과 관련된 형태를 사용할 수 없기 때문에 유리화를 통해 극한의 연산 법칙을 적용 가능한 형태로 바꿔주는것 아닌가요...? 그나저나 일반청의미님 글이 모아보기에서 계속 안보여욤 ㅠㅠ

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일반청의미 · 447559 · 17/02/05 21:11 · MS 2013

그래도 lim c/d 에서 c, d 둘다 발산하는 형태일걸요!

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물1생1전사 · 680798 · 17/02/05 21:19 · MS 2016

사실 lim (x-1)/(x-2)같은거에서 최고차항 지수/계수비교하는게 일상화되어서 놓칠수 있는 부분이지만 x값이 임의의 상수값이 아닌 무한대로 발산했을때의 극한의 경우 lim1/x=0과 같은 몇개의 공리를 적용할 수 있는 형태로 변형한다 (ex.x-1/x-2를 (1-(1/x))/(1-2/x))와 같은 형태로 )뭐 그렇게 배웠던 기억이 나서욤! 유리화도 비슷한 맥락으로 이해했던것같은...

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일반청의미 · 447559 · 17/02/05 21:21 · MS 2013

넹 더 자세하게 설명해주면 되십니당.
또한 분모의 유리화는 왜 하는지도 생각해주시면 좋아요.

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Arrival · 646858 · 17/02/06 01:26 · MS 2016

유익한정보 고맙습니다~~ 이런글은 닥팔이야! ^,^

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