밑에 합성함수 문제요.

lim_{t-> 20-a} f(t) = f(b)

여기서 x^3 + 3x^2 - a = g(x) 라 하면 이 함수는 연속이니

g(20-a) = f(b) 라는 식까지가 나오죠

여기서 f(b)를 g(x)로 표현해 주어야 clockwise 님이 쓰신 풀이를 적용할 수가 있는데요.

f(x)가 항상 g(x)와 같은 것이 아니기 때문에 경우를 다음과 같이 나누어야 하죠.

여기서 일이 복잡해집니다.


왜 나누어야 하는지를 간단하게 설명한다면, 두 경우에 해집합의 양상이 전혀 다르게 나타나니까 그렇습니다.

1) 모든 가능한 b값의 집합에 2를 포함하지 않는 a에 대하여

이 경우에는 clockwise 님이 쓰신 것을 그대로 활용해도 되겠네요.

f(b)=g(b) 라고 말할 수 있으므로 g(20-a) = g(b) 에서 b를 만족하는 값이 2개 이상이면 됩니다.

2) 가능한 b값의 집합이 2를 포함하는 a값에 대하여.

가능한 b값들 중 하나를 2로 가지는 a값들은 다음 식을 만족하는 모든 a값입니다.

g(20-a)=2

그 값이 실수라면 1개 혹은 2개, 그도 아니면 3개가 존재하겠죠.

여기서는 대충 치환해서 보니 3개가 존재하는 것 같네요. 그것을 a1, a2, a3이라고 하겠습니다.

a1의 경우에 대해 조건을 만족하는 b값이 몇개나 존재하는지를 살펴본다면

i) g(20-a1)=f(b) 에서, 일단 앞의 전제에 따라 b=2인 경우가 가능합니다.

ii) 그리고, b가 2가 아닌 경우를 살펴본다면 g(20-a1) = g(b) 를 만족하는 b값이 있겠죠.

해당 식을 만족하는 b값은 세 개 존재합니다.

20-a1, 20-a2, 20-a3 이렇게요.

따라서 이 때의 a1이 만들어내는, 조건을 만족시키는 b의 집합의 원소는 2개 이상입니다.

a1이 자연수이기만 하다면 해답 중 하나가 됩니다.

문제는 함수가 다른 형태로 잡혔을 때, 2번의 해답이 1번에 포함되지 않는 경우가 분명히 존재한다는 겁니다.
아래와 같은 예지요.

g(20-a)=2 의 근이 단 한 개밖에 나오지 않는 경우를 가정한다면

이 때의 a값을 a1이라고 합시다. 이 a1값은 i)과 같은 방법으로 구한 범위 안에 포함되지 않습니다.

하지만 g(20-a)=f(b) 에서 a=a1일 때 이 식을 만족하는 b값은 2개가 될 수 있습니다(하나일 수도 있습니다)

일단 b=2 로 f(b)=2 가 나오는 경우가 있을 것이고

b가 2가 아닐 때 g(20-a)=g(b) 에서 g(b)=2 가 나오는 b가 하나 있을 것입니다. 이 때 b=20-a가 됩니다.

a1이 18이 되지 않는 한 b값은 두 개가 존재하게 됩니다. 따라서 조건에 부합하죠.


여기서 주어진 함수는 분명 아래의 경우를 고민할 필요가 없지만

그 고민할 필요가 없다는 사실도 확인을 해야만 합니다. 그 경우까지 고려해야 완벽한 해답이 나오는 것이

보다 더 일반적인 경우니까요. 요는 모든 경우에서 이 경우는 특별히 2번을 고려할 필요가 없는 형태 중 하나라는 거죠.

b=2인 경우와 b가 2가 아닌 경우는 결과에 영향을 주든 안 주 든 이 문제를 풀 때 필연적으로

고민해야만 하는 부분이구요.

결론적으로 이 문제를 풀기 위해서는 b=2를 해집합으로 포함하는 경우의 a값들이 i) 에서 구한 것 안에

포함되는지 안 되는지를 구분해야 한다고 생각하는데요.

그러기 위해서 아래쪽과 같은 방법이 가능합니다.

첫번째로는 g(20-a)=2 를 만족하는 a값이 자연수가 아님을 보이거나

두 번째로는 g(20-a)=2 의 근이 하나가 아니라는 것을 보여야 합니다.

둘 중 하나라도 만족이 되면 답을 구하기 위해 복잡하게 생각하지 않고

clockwise 님의 풀이대로 바로 접근할 수 있네요.

하지만 여기서 테크닉 없이 둘 중의 하나라도 계산을 하려면 20-a의 3승을 포함한 복잡한 방정식을 정리한 후에

그 방정식의 실근이 대략적으로 어떻게 되는지를 보아야 합니다.

(실제로는 20-a를 t로 치환한 후에 방정식을 정리하고 남은 a를 20-t로 다시 바꾸어 놓으면

t가 정수값이 아니고 근이 3개이기 떄문에, a도 정수값이 아니고 근이 3개가 되기는 합니다.)

제대로 극한의 연속에 대해 공부했다면 정확하게 아 이런 부분이 문제다라고 금새 짚어낼 수는 없어도

분명히 문제가 있는 부분이 존재할 수밖에 없다는 걸 어렴풋이 느끼실 것 같은데요

제가 잘못 생각하고 있는 부분이 있는건지도 모르겠네요.