제가 변곡점을 잘못이해하고있는걸까요.
f(x)= x/x^2+1
그래프를 미분하면
f'(x)=-x^2+1/(x^2+1)^2
또미분하면
f''(x)=분자에 +-루트3
원래 함수를 미분하면요 . x축에 두근을가지면서 위로볼록인 그래프가나오는데요.
변곡점이라는게 함수값을 두번미분했을때(즉.이계도함수에서) 음양부호의변화잔아요.
이렇게말한다면 한번미분했을때의 함수에서 위의 식대로라면 위로볼록일때 x=0에서 즉 기울기가 0이되는경우
(그림으로 본다면) 한곳밖게없어야할텐데(위로볼록이니깐) 어떻게 이계도함수값에선 음양부호 변화가일어나는곳이 두곳이 더생겨날수있죠?
분명히 한번미분한함수값의계형은 위로볼록이니깐 한곳밖게없어야될텐데여 먼가 제가 잘못알고있는걸까요....?
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왜 f'(x)의 그래프가 위로 볼록하게 생겼다고 생각하시는지 잘 모르겠네요. 실제로 그래프를 그려보면 3곳이 나타납니다.
f'(0) = 1
f'(2) = -3/25
lim_{x→∞} f'(x) = 0
만 봐도 주어진 그래프가 위로 볼록일 이유가 없죠.
제가 '한'선생님한테 배운바에의하면 몇개 함수의 그래프 개형을 그리는 과정에서 보통의경우 분모가 제곱이고 어 그러니깐. 어떤수를대입하건 분모가 양수인경우...라고해야되나 한선생님은 딱 '분자'만 고려하시더라구요. 미분함수값의 분자에있는 그니깐 -x^2+1을 본다면
분자만고려하는경우 -1하고 +1에서 음양의부호변화가일어나니깐 그점에서 극댓값을갖고 여기서 미분함수의 그래프의 개형을 본다면 위로볼록인 그래프가나오고 결국 x=0에서 사실상 극댓값을갖는 즉 변곡점을 갖는 점 하나만 존재한다고 판단했거든요. 댓글달아주신분님께서 미분함수값이 위로볼록이아님을 알려주시긴했는데 제가 위에서 한선생님한테 배운 오류좀 정정해주시면 안될가요.
가장 간단하게 말해서, 함수를 바꾸면 당연히 결론이 달라질 수 있는 것입니다. 그게 이유의 전부라고 해도 과언이 아니지요.
물론, 어떤 한 점의 근처만 보고 싶을 때에는 주어진 방법도 나쁜 방법은 아닙니다. 하지만 넒은 범위에서 보면 분자만 본다든가 하는 편법이 원래 그래프에 대한 정확한 정보를 전달하기에는 너무 부족해지지요.
제시하신 방법은 수학적인 방법이 아니라 단지 한정된 시간 내에서 주어진 함수의 개형을 빠르게 판단하기 위한 편법일 뿐이며, 따라서 이를 전적으로 신뢰하는 것은 당연히 문제가 있습니다.
아 감사합니다. 편법이었군요. 절대적으로 신뢰하지않겠습니다.