[수학칼럼] 증명을 공부하는게 고난도 문제 풀이에 도움되는 이유
안녕하세요. 상승효과 이승효입니다.
작년에 올렸던 칼럼인데
최근에 증명에 대한 질문을 몇번 받아서
다시 올려드립니다.
Q. (학생의 질문)
"증명하는 과정이 수학에서 고난도문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하나요?"
A. (이승효의 대답)
증명이라는 것은, 교과서에 나와 있는 어떤 정리가 참이 되는 이유입니다. 예를 들어, 피타고라스 정리가 있죠. 그게 참인 이유가 증명이에요. 이걸 배우지 않은 상태에서 혼자서 증명하는 것은 어렵습니다. 증명은 과거에 누군가 엄청나게 똑똑한 사람이 한 것이기 때문에, 그걸 우리가 짧은 시간안에 떠올린다는 것은 어렵겠죠. 그러한 증명이 꼬리에 꼬리를 물고 연결되면서 수학이 발전해 온 것이고, 고등학교 교과서는 그러한 연결에 의해서 만들어진 유기적인 내용입니다. 예를 들어, 수학1, 수학2, 미적분 순서대로 이어지는 것에는 다 이유가 있는 것이죠.
증명하는 과정이 수학에서 고난도 문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하는가. 고난도 문제를 풀어봤다면 알겠지만 여러가지 발상들이 필요합니다. 도형문제라면 어떠한 상황에서 보조선을 어떻게 긋는다, 함수의 식이 주어졌다면 어떻게 한다, 등등. 문제만 풀어온 학생이라면 이러한 발상을 문제를 풀어야 배울 수 있는 거라고 생각하겠지만, 사실 수능에 나오는 모든 발상은 100% 교과서 증명 안에 다 들어있습니다. 그것을 바탕으로 수능 문제를 출제하니까요.
제가 전에 쓴 글에서 미분을 MRI에 비유했는데, 글 중간에 보면 MRI검사를 수백명 해보면서 인체의 신비를 깨달아가는건 어려운 일이라고 했죠? 증명을 배운다는 것은 마치 살아있는 인간을 배우기 전에 해부학을 배운다는 것과 같습니다. 이미 과거에 다른 사람들이 발견한 정보들을 바탕으로 교과서적인 원리들을 먼저 배우는 것이지요. 따라서 교과서 정의, 정리, 증명에서 배운 내용을 바탕으로 기출 문제를 풀게 되면, 문제마다 새로운 것을 배우는 것이 아니라, 문제를 풀면서 교과서 내용을 확인하게 되는 것이지요. 그러한 과정을 기출 분석이라고 합니다. 따라서 기출을 보기 전에 교과서 내용을 정확히 알고 있는건 매우 중요해요.
증명을 해야 하는 두번째 이유. 학생은 미분가능한 함수는 연속함수이다 라는 것을 증명할 수 있나요? 이건 실력지상주의 1주차에서 수업한 내용인데요. 대부분의 학생은 이걸 증명할 수 없습니다. 왜냐하면 미분가능한 함수와 연속함수의 정의를 정확히 모르거든요. 느낌으로만 알고 있고 식으로 정확히 표현할 수 없다면, 매우 쉬운 한줄짜리 증명임에도 불구하고 할 수 없습니다. 그럼 정의를 알고 있는 것이 왜 중요한가, 예를 들어 어떤 함수가 미분가능함을 보여라, 라는 문제가 있을 때 대부분 학생은 1.연속이다. 2.좌미분계수=우미분계수가 같다. 라는 순서대로 문제를 풉니다. 이건 아주 대표적인 잘못된 풀이라고 할 수 있는데, 정의를 잘 모르기 때문이구요, 저렇게 풀리는 3점짜리 문제는 문제가 없는데 4점짜리 문제로 가게 되면 해결이 안되는게 생겨요. 문제풀이의 접근방법은 반드시 정의->정리 순서대로 나아가야 하는데,오개념으로 풀다보면 접근 자체가 안되는 경우가 생깁니다.
증명을 해야 하는 세번째 이유. 직접 증명을 써보면 알겠지만, 아는 내용이라도 논리적으로 설명하는 것이 쉽지가 않습니다. 그건 학생들이 아직 논리적 사고력 또는 표현력이 부족하기 때문이죠. 교과서에 있는 증명들은 매우 간결하면서도 논리적입니다. 복잡한 증명은 고등학교 교과서에 나오지 않기 때문에 누구나 이해할 수 있는데, 그걸 자신이 직접 해보는건 쉽지 않아요. 강사가 설명하는 내용을 들으면 이해는 되지만 똑같이 설명해 보라고 하면 쉽지 않은것과 같은 이유입니다. 즉, 논리적 사고력을 키운다는 것은 다른게 아니고, 연습입니다. 수학은 그것을 연습하는 학문이에요. 고등학교를 졸업하면 미적분이 쓸모가 없을 수도 있고 대부분의 성인은 수학을 잊어버리지만, 중학교까지만 다닌 사람과 고등학교까지 수학을 배운 사람이 논리적 사고력에서 차이가 나는 것은 수학적인 연습을 했기 때문입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
뭐지 뭔일 있나?
-
이라고 하면 오르비가 불타겠죠? 제 생각이 이렇단건 아닙니다~
-
굳이 머 다지선다 인강문제집 풀면서 엔제할버에 수특수완 하는게 백배좋ㄷㅏ
-
불닭먹을까 비빔면먹을까 11
제곧내
-
아는 사람 았음?
-
각자 수시vs정시 댓글로 의견좀 주세요
-
칙쇼...
-
자러갑니다 0
어차피 오늘 공부도 손에 잡힐리가 없었고 이 2학년 1학기 내신은 태초부터 개처망할 학기였나봅니다
-
ㅇㅈ메타좀 해봐 0
ㅌㅋ
-
키스하고싶어요 4
뽀뽀 쪽
-
내신에 경제는 보통 1등급 한명이라 정시파이터 달고 1등급 먹으면 무수한 악수의 요청을 받을수 있음
-
중학생 성취도 평가 문제인데 어떰? 1~10 사회, 11~20 역사 ALL 5지...
-
ㅇㅇ
-
파이널시기만되면 못자네 작년에도그랬는데
-
죄다 본인 커리어 말하고있내
-
둑흔둑흔
-
물리 내신 9.7 나온적있었음! 원점수.. 안 찍고 풀었는데
-
커하 92 93 3 98 100 커로 87 77 4 87 84
-
경영 너무 높다
-
중딩땐 1
문제집 푸는데 모르는거 많아서 운적도 있음 이렇게 멍청해서 나중에 어떻게...
-
커하 94 100 1 50 50 커로 73 92 3 42 39
-
사탐 과탐 0
사탐 3이랑 과탐 4 중에 뭐가 더 나을까영..?
-
커로 23444 커하 11311 차이가 뭐이리 ㅋㅋ
-
작수 원점수 191 241 500 100 100인데 6
대학 어디까지 ㄱㄴ?
-
고3 고급수학 지필평가 0점 수행 기본점수 30 + 1점 전교 꼴등
-
과외준비하러감 2
이따 온다.
-
오해원
-
영탐 3과목 원점수 합 100이 안됨 52 27 20 ㄹㅈㄷ
-
ㅇㅈ 4
라단 "원정" 성공
-
3모 5모 1컷으로 96 ㅋㅋ 다 1~2점정도 차이난듯 6모는 운이 너무 좋았던거 같고
-
4-5등급대의 학생을 3등급으로 올리는 가장 효과적인 방법이 뭘까요? 님들이...
-
합쳐서… 마적 77 생명 23
-
커하: 11132 커로: 22345 라네요 고3 교육청 평가원만 합침
-
은근 좋은 거 0
심야에 아파트 곳곳 돌아다니기 20년짜리 추억들이 곳곳에 묻어있다
-
커로: 사실상 6평에 국어만 3컷까지 내리기 대충 국숭세단 하위권? 커하: 사실상...
-
살면서전공한두개쯤은C여도되지않을까요?
-
화1은 처음해보는데 김준 필수이론 듣고 이해할 수 있을까요? 과학을 못하는편은...
-
연대 언홍영 1
과탐2개가 유리할까요? 과탐1사탐1개가 유리할까요?
-
난 교육청 평가원 사설 다 합쳐서 커리어 로우가 전과목 다 작수임 ㅇㅇ
-
엘릭 ㅈㄴ 불쌍함… 초딩이 자기 주변 사람 죽는 거 보고 본인이 죽을 뻔하고 그러면...
-
맛있는거 0
맛있는거
-
평가원만 따졌을 때 기준으로 난 93 93 3 93 92 나옴 님들은?
-
프로필 장착할건 다 장착하니까 ㄹㅇ 미친고인물같네 11
은테+애니프사+55렙파란색+냥뱃+빨간닉네임 겁나알록달록해서 미친고인물같은...
-
여러분의 친구
-
잠이 안온다리 6
수학이나 좀더 보고 잘까요
-
화미생지 내 커하인데
-
추천해주세요 내일 집 와서 먹을거
-
그거 맨 마지막 사람 기준으로 누백 적으니까 그렇게 보이는거지 절대로 평균은 안...
어떤 교과서로 증명을 연습해야 되나요?
증명은 부차적인 것이 아니라 교육과정에서 반드시 알아야 하는 내용이기 때문에, 중학교부터 고등학교까지 모든 교과서에는 같은 증명이 포함되어 있어요.
감사해요 선생님! 하나만 더 여쭙겠습니다ㅠ
미적분인데 수학,미적분,수학1,수학2 찬찬히 읽고 증명연습할 생각인데 더 해야할 교과서 있을까요? 아니면 4권도 충분하다 보시는지요~?
도형은 중학교 교과서도 봐야 합니다. 어렵지는 않으니까 금방 끝나요~