기하 칼럼) 같은 값을 갖는 점의 자취 2편

어제 이어서 합니다

지난번 galaxy 님이었나 기하자료배포하셨던 내용 중 제가 말한 내용으로 해석할 수 있는 부분이 있으니 소개하겠습니다.

다음과 같은 조건이 있다면 X는 직선을 이룹니다.

그걸 쉽게 그리려면 그냥 n=k인 경우, m=k인 경우와 같이 특정한 상황을 집어서 2개의 X를 짚어낸 다음 그 두 개를 연결하여 직선을 만들면 되겠죠.

작년 수능완성 문제입니다.

우선

얘를 만족하도록 X를 잡아줍시다.

또 벡터 a랑 b의 시점을 일치시키고 육각형 중심을 O라고 하면

다음과 같네요.

근데 여기서

이므로 B와 O는

위에 있습니다.

즉 P가 이루는 직선을 그리려면 B와 O를 연결하면 됩니다.

근데 그러면

P가 이루는 직선이 이런데 그 위에 X가 있네요

따라서 X도 k+l=1입니다. 답 4번

이렇게 하면 k와 l 값을 따로 안구해도 무방합니다.

Q. 너무 오래 걸리시는데요? 정석이 더 쉽겠다

A. 설명하느라 그런거고 그냥 실전에서 보면 슥슥 찍 슥슥 어라 답 4번 하고 끝납니다

원리만 이해하고 있으면 아주 쉽게 풀려요

그런데 지금은 자취가 직선으로 나오는 경우입니다.

많은 경우에 문제에서 원으로 나오는 경우를 상정해서 문제를 낼 때가 있는데,

나올수 있는 경우를 한번 다 따져보도록 하겠습니다.

참고로 아래 내용들은 벡터에서보다 그냥 기하 전체적으로 알아두는게 좋은 편입니다.

점 A, B, C, ... 등등이 정점이며, X를 자취를 구해야 하는 정점으로 두죠. k는 이제 말 안해도 상수입니다.

1.

당연히 X는 원을 이룹니다. 증명은 생략

2.

다음과 같은 경우 X의 자취는 A와 B의 중점 M을 중심으로 하는 원입니다.

뭐 이건 쉽죠

증명

3.

+면 타원이고 -면 쌍곡선입니다. 왜인진 아실겁니다.

4.

예전 사설에서 봤던 거라 그냥 알려드립니다만 뭐 나오진 않겠죠

X는 원을 그리며 그 중심은 A와 B를 m:n으로 내분하는 점 C입니다.

증명은 귀찮습니다. 위에 괜히 했네 아래도 해야할거 같잖아

다만 스튜어트 정리에 의해

라는 공식이 성립합니다.

AB의 길이는 정해져 있기에 이 값은 CX의 길이를 한정하는 것이므로 C를 중심으로 하는 원을 X가 그립니다.

Q. 아까부터 신경쓰이는데 k 값에 따라 원이 아니라 점이 되거나 아예 X가 존재하지 않을 수도 있는데요?

A. 맞습니다. 그 범위는 귀찮으니 알아서 구하세요. 어차피 X가 안존재하게 문제에서 낼것도 아닐텐디

5.

이 경우 잘 안나올 것 같지만 그냥 원주각에 대해 생각 좀 해보라고 언급합니다.

이 경우 X는 원의 일부를 그립니다만 중심이 특이하게 

인 점 O입니다.

Q. 그런 O가 아무리봐도 1개가 아닌데요?

A. 맞습니다. 2개입니다

그래서 X의 자취는 대략

이런 8자를 그립니다. 귀엽다

중요한 점은 두 정점에 대해 한 동점이 이루는 각이 일정하면 그건 원의 일부를 그립니다.

이 성질 기하에서 사용할 일 나오기에 알아두시면 좋겠습니다.

6.

이것도 A와 B의 중점 M을 중심으로 하는 원을 X가 그립니다.

증명

AM의 길이는 정해져 있으니 X는 원을 그립니다.

이정도 알아두시면 엥간해서 표현형 보고 당황하는 일은 없을겁니다.

그런 표현형을 주는 평가원도 상상하기 어렵지만