곱/몫/합성함수 미분법 증명 by 미분계수의 정의
해봅시다.
우선 이건 도함수의 정의입니다. 미분계수의 정의를 일반화하는 식으로 우리가 공부했었죠!
<곱의 미분법>
미분가능한 함수 f(x), g(x)에 대해 f(x)g(x)의 도함수를 구해봅시다.
우리는 함수 f(x), g(x)가 미분가능함을 알고 있기 때문에 아래의 두 극한이 수렴함을 알고 있습니다.
그럼 이를 활용해서 lim를 분배해볼 생각을 할 수 있으니 극한식의 분자를 다음과 같이 조작해봅시다.
그럼 이렇게 식을 정리해볼 수 있겠고
이제 각각이 수렴하니 lim를 분배해주면
다음과 같이 수렴할 것입니다.
곱의 미분법 증명 끝!
<몫의 미분법>
미분가능한 함수 f(x), g(x)에 대해 f(x)/g(x)의 도함수를 구해봅시다. 참고로 이는 수학2에서는 나오지 않고 미적분에 나옵니다.
뭐 일단 아까와 마찬가지로 f'(x), g'(x)가 존재함을 아니 이를 활용하기 위해 식 조작 해봅시다. 분모 분자에 g(x)g(x+h)를 곱해주면
이렇게 됩니다. 이제 극한식 써먹기 위해 또 분자에 식 조작을 해주면
여기서 이렇게 묶어줄 수 있겠죠
그럼 이제 각각이 수렴하니 lim를 분배해주면
다음처럼 수렴함을 알 수 있습니다.
몫의 미분법 증명 끝!
<합성함수 미분법>
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x), g(x)에 대해 f(g(x))의 도함수를 구해봅시다.
마찬가지로 f'(x), g'(x)가 존재함을 아니 활용하기 위해 식 조작을 해봅시다. g(x+h)-g(x)를 나누고 곱해주면
말이 헷갈리니 잠시 x=a에서의 미분계수로 바라보면
함수 f(x)와 g(x)의 정의역 내의 임의의 실수 a에 대해 함수 f(x)는 x=g(a)에서 미분가능하고 g(x)는 x=a에서 미분가능하니 우리가
이렇게 lim를 분배할 수 있음을 알 수 있죠. 다시 말해
로 lim를 분배할 수 있을 것입니다. 그럼 왼쪽의 식은 점 (g(x), f(g(x))와 점 (g(x+h), f(g(x+h)) 사이의 평균변화율의 극한이니 x(독립변수)=g(x)(상수값)에서의 f(x)의 미분계수를 의미하고 오른쪽의 식은 점 (x, g(x))와 점 (x+h, g(x+h)) 사이의 평균변화율의 극한이니 x(독립변수)=x(상수값)에서의 g(x)의 미분계수를 의미하겠죠! 즉, 정리하면
가 될 것입니다. 합성함수 미분법도 증명 끝!
자 이렇게 고등학교 교육과정에서 마주하는 미분계수의 정의를 통해 증명 가능한 세 가지 미분법에 대해 알아봤습니다. 특히 확률과 통계 선택자 분들 중에 증명 과정 없이 결과만 외우며 학습하시는 분들이 많다 느껴서 이 글 확인하시고 적어도 곱의 미분법에 대해서는 증명 과정을 익혀두시면 좋겠습니다. 몇 번 따라해보시고 반복 학습을 통해 스스로 유도해보면 어렵지 않게 기억하실 수 있을 거예요!
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합성함수 미분법 증명 틀렸어요..
1. f(g(x+h))를 f(g(x+h)로 표기했던 것 수정했습니다
2. 미분가능한 함수 f(x), g(x)라 할 때 일반적으로 정의역을 실수 전체의 집합으로 잡는데 '실수 전체의 집합에서'라는 워딩을 추가함으로써, 함수 f(g(x))의 g(x)=g(a)에서의 미분가능성을 조사할 때 'f(g(x))를 정의한다'는 표현을 명시하지 않은 부분이 문제 될 수 있음을 고려해 g(a)가 f(x)의 정의역에 포함되지 않을 수 있는 경우를 배제했습니다.
감사합니다!
아뇨 근본적으로 틀렸습니다.. 많이들 하는 실수긴 해요 이거
g(x)가 x=a를 포함한 어떤 열린 구간에서 상수함수일 때 g(x+h)-g(x)=0이기에 본문의 과정처럼 식을 조작할 수 없음을 말씀해주신 건가요?
이외의 증명 과정 자체에는 문제가 없습니다. 고등학교 미적분에서 합성함수 미분법은 저렇게 g(x+h)-g(x)를 나눠주고 곱해준 후 각각의 평균변화율이 수렴함에 따라 lim를 분배하는 방식으로 증명합니다. Essential Calculus Early Transcendentals: Metric Version 2nd edition International Edition by James Stewart 에도 y=f(g(x))를 y=f(u), u=g(x)로 바라본 후 lim를 분배하는 방식으로 설명하고 있습니다.
고등학교 미적분에서 주로 다루는 대부분의 미분가능한 함수의 경우 특정 구간에서 상수함수일 때가 없기 때문에 위와 같이 증명을 보였는데, 말씀하신 것처럼 엄밀하게 합성함수 미분법 다시 말해 연쇄 법칙 (chain rule)을 증명하려면 아주 작은 오차 입실론_1, 입실론_2를 잡아 설명해야하긴 할 것입니다.
스튜어트 칼큘러스도 체인룰 챕터 보시면 그 챕터 끝에 제대로 된 증명을 따로 소개 하긴 합니다.. 물론 전 스튜어트가 좋은 책은 아니라고 생각하지만 어쨋든 고등학교 교과서나 정석같은곳에 있는 증명은 틀린것이 맞습니다.
오 그렇군요... 감사합니다 하나 배웠습니다! 스튜어트 미적분학 연쇄법칙 뒤에 나오는 제대로 된 증명은 저도 처음 봤을 때 신기해서 익혀둔 상태였습니다. 위 답글의 마지막 부분에서 언급한 아주 작은 오차 입실론들을 이용한 증명이 이를 언급한 것이었어요, 다만 함수의 극한을 직관적으로만 정의하는 고등학교 과정에서 '오차'라는 개념을 갖고 오는 게 어려울 것 같다는 점과 위의 곱미분과 몫미분에서 미분계수의 정의에서의 식 조작을 통해 공식을 증명한 방법과 같은 방법으로 진행하고 싶던 점에서 본문과 같이 증명을 남겼었는데 잘못되었을 경우에 대해서는 생각하지 못했었네요 ㅋㅋㅋㅋ 감사합니다
증명이라는 것이 엄밀해야하는데 g(x+h)-g(x)=0를 고려하지 않았다는 점에서 증명 과정에 오류가 있다고 말하는 것이 적절하겠네요. 교과서와 한완수에서도 본문과 같은 방식으로 극한을 증명해둔 것을 확인했기 때문에 '고등학교 미적분 수준에서는' 크게 문제가 없다고 봐도 괜찮을 것 같습니다.
증명 대충 스케치 해봤어요
오 저렇게도 증명할 수 있군요!! 감사합니다 신기하네요 아래 말씀해주신 책도 지금 공부하고 있는 책 마친 후에 찾아볼게요
g가 분모에 가면서 오류가 발생하는 거긴 한데.. 제대로 증명하려면 극한에 대한 이해가 필요해요
Stephen Kenton The College Mathematics Journal Vol. 30, No. 3 (May, 1999), pp. 216 읽어보시면 재밌을 거예요.