'모든'의 논리적 오류 | 6평 미적 28번
※ 6월 10일, 글 내용을 좀 더 상세하게 영상으로 풀어서 올렸습니다.
0
독해와 논리를 가르치는 이해황입니다.
이번 미적 28번 논란이 흥미로워서 짧게 글을 써봅니다.
1
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)에 대하여
{f(x)}²+2f(x)+1이 x=1에 대칭이라면,
{f(x)}²+2f(x)+1 = {f(x)+1}²이므로
{f(x)+1}² = {f(2-x)+1}²이 성립합니다.
따라서 "모든 x에 대하여 f(x)=f(2-x) or f(2-x)=-2-f(x)"라고 할 수 있습니다.
그런데 이로부터 "모든 x에 대하여 f(x)=f(2-x) or 모든 x에 대하여 f(2-x)=-2-f(x)"라고 할 수는 없습니다.
2
"모든 사람은 남성이거나 여성이다."가 참일지라도
"모든 사람은 남성이거나 모든 사람은 여성이다."가 도출되지는 않습니다.
왜 그런지 바로 이해가 되는 분들도 있겠지만, 그렇지 못한 분들을 위하여
사람이 p, q 둘만 있는 가능세계1)를 살펴보겠습니다.
각주 1) 가능세계는 2019학년도 수능 국어영역에도 나왔고 PSAT/LEET에 모두 나온 적 있는 중요 논리학 개념입니다. 만약 이 개념을 잘 모른다면 가장 쉽게 이해하는 '가능세계' [두뇌보완계획100] 3분짜리 영상을 참고해주세요.
이때 가능한 세계는 아래 표와 같이 4가지입니다.
"모든 사람은 남성이거나 여성이다."는 w1, w2, w3, w4 모두에서 참입니다.
반면 "모든 사람은 남성이거나 모든 사람은 여성이다."은 w1(모든 사람이 남자)와 w4(모든 사람은 여자)일 때만 참이며 w2, w3일 때는 거짓입니다.
정리하자면, "모든 사람은 남성이거나 모든 사람은 여성이다."가 참이면
"모든 사람은 남성이거나 여성이다."는 참이지만, 그 역은 성립하지 않습니다.
3
논리학자들은 '모든'을 ∀으로, or(이거나)는 ∨으로 나타냅니다. ∀는 all을 뒤집은 것이고, ∨는 or를 뜻하는 라틴어 vel에서 가져온 것입니다. 참고로 and(이고)는 ∨를 뒤집은 ∧으로 나타냅니다.
지금까지의 논의를 기호를 활용하여 간결하게 나타내면 다음과 같습니다.
∀x(Ax∨Bx) ≢ ∀x(Ax)∨∀x(Bx)
구체적으로는 ∀x(Ax∨Bx) ↛ ∀x(Ax)∨∀x(Bx), ∀x(Ax∨Bx) ← ∀x(Ax)∨∀x(Bx)로 분리하여 생각할 수 있습니다.
4
2019학년도 LEET 추리논증에 이러한 변별을 묻는 문제가 나온 적 있습니다. 지금까지의 논의를 잘 따라왔다면, 아래 고난도 문제를 단박에 풀 수 있습니다. 핵심은 ㄷ입니다.
논리훈련이 되어 있지 않은 분들은 ㄷ을 적절하다고 판단합니다. 그런데 ∀x(Ax∨Bx) ↛ ∀x(Ax)∨∀x(Bx)이므로 ㄷ은 적절하지 않습니다. 즉, "모든 환자에게서 병원균 α와 β 중 적어도 하나가 검출된다"가 참이라고 해도, "모든 환자에게서 병원균 α가 검출되거나 모든 환자에게서 병원균 β가 검출된다"가 참이라고 할 수 없습니다. (참고로 정답은 ② ㄴ입니다.)
5
지적 호기심이 있는 분들을 위하여 양화사 분배에 대한 몇 가지 성질을 적어두겠습니다. 2에서 제가 표를 그린 것처럼 가능세계를 중복없이 누락없이 떠올려보면 충분히 혼자 이해할 수 있을 겁니다.
①∃x(Ax∨Bx)≡∃x(Ax)∨∃x(Bx)
②∀x(Ax∧Bx)≡∀x(Ax)∧∀x(Bx)
③∃x(Ax∧Bx)≢∃x(Ax)∧∃x(Bx)
④∀x(Ax∨Bx)≢∀x(Ax)∨∀x(Bx)
이때 ∃는 "어떤 ~가 있다"는 뜻으로, there exists에서 가져온 기호입니다.
참고한 자료
1. 2024대비 6월 모평 미적분 28번 대칭성 풀이의 논리적 오류에 대하여
2. 논리개념 매뉴얼5.0(이해황, 2023) (2의 설명은 이 책에서 가져옴)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
설맞이 N제 1
유빈이한테 받아서 풀어보고 바로 구매 캬캬
-
아니 ㅋㅋㅋㅋ
-
성균관대반 들어볼라는데 어떤가용 아니면 다른 학원이나 쌤 추천 해주셈
-
지금 당장 현돌을 사라
-
디카프 프로모터 어댑터 풀었고 박선우 브랜치 백호 올바원 제외하고 추천해주세요......
-
세상이 돌고 ㄷㅍㅎ논다
-
난도에 비해서? 과탐 2만 떠주면되긴하는데 ... 3도 괜찮긴한.. 최저땜에 과탐을...
-
아님 9모 pdf 추가 되나요?
-
윤성훈 명불허전 기출분석 품절 재입고없대서 기파급으로해도 ㄱㅊ?
-
강e강이라는 이름을 찾을수가 없네여..
-
드디어 가입 후 10일이 지났네요 긴 글을 쓰면 읽지 않아서 간단하게 요약하여...
-
작년6평 28번. 재작년 수능14번 올해 9평 30번 보니깐 현우진 문제 푸는 사고...
-
하루전 화작런 1
이번시험언매에서 35 6 두문제 틀렸는데 ㅜㅜ 멘탈이 나가서 화작 12분쓰고...
-
올해 과외용으로 9모 쳐서 원점수합이 298이시네 ㄷㄷ
-
내년에 재수하게되면 사탐 2개로 돌릴까 합니다. 지금은 물1, 지1 하고있어요....
-
서성한 상경은 안 되는데 연대는 심지어 상경도 써볼 수 있는 사탐 표본들 꽤 있겠지..
-
사설 평가원 0
국어 사설이랑 평가원 비교했을 때 69모 기준 사설은 치면 2 잘뜨면 1도 나오는데...
-
9모 국어 턱걸이 1인데 매일 공부할 때 독서도 읽을 때 정리된 느낌이 안 들고...
-
추천 좀요ㅠㅠ 20이랑 13이하 푸는 건 좀 무의미하게 느껴지고 22는 버겁고...
-
잇나요..?
-
4의규칙 시즌1 풀려고하는데 풀어도될까요 기출 수1두번돌렸고 수2는2회독중입니다...
-
고1 자퇴생이라 탐구는 안해봐서 노베이고 국영수는 고1~2정도 수준정도 베이스인데...
-
고2 문과입니다 국문과지망해요 유지하면 서성한 교과로 … 찔러라도 볼 수 있을까여…...
-
수1 아이디어 / 수2 커넥션 / 미적 킥오프까지했고 이번 9모는 2122 2930...
-
고2 9모 3등급 나온 정시파이터입니다.. 조급한마음이 없지않아있지만 좀 채우고...
-
기출회독도 해야하고 새로운 문제도 풀어보고 싶은데 하프모형식의 n제 풀면서...
-
그 자체로 즐기기위함 수능에서의 유불리 야래야래 아님말고
-
재수 중인데 끝까지 논술은 안 하려 하다가 이제 진짜 논술이라도 넣어봐야 될 것...
-
어삼쉬사 10
어떰
-
시험을 쉽게 출제해서 사교육 필요 없게 만들겠다
-
내신 6.6 (자사고)를 감안해도 미친놈 밑에는 운동부 뿐 21수능 45345 나형...
-
엔티켓이랑 어삼쉬사 중에 뭐가 더 좋을까요.? 성적은 4등급 정도 입니당.....
-
수학 어카지 3
지금 학교에서는 확통 미적을 나가는 상황인데 9모 치니까 수1, 수2 다 애매하게...
-
진지하게 사탐 런하고 싶은데 어떻게 할꺼요??? 9모 성적은 화1 41점 받음,...
-
몰이 좀 많이 어려워서 그렇지
-
이번9평 과탐 3,4등급 정도로 망했으면 뒤돌아보지 말고 바로 사탐런 하세요 내일...
-
평가원 백분위 88정도 현역이고 기출 두바퀴 돌린 후에 엔제 드릴 이해원 시즌1이랑...
-
고전 아직 안 들어가서 고전 끙끙거리다가 비문학 못 품ㅋㅋㅋㅋ
-
9월 해강 구매하실건가요? 솔직히 난도때문에 돈아깝다는 생각이 드네요..
-
마지막 기회다 3
튀어라
-
수시 교과전형 2
교과전형에서 생기부 안 보는 대학이면 진로와 관한 선택과목 몇 개 선택했고 상대평가...
-
컨디션도 개박고 마킹실수하고 이것저것 겹쳐서 3 6모보다 성적이 많이 떨어졌는데...
-
1컷 몇이었을까요? 6모 기준으로 84면 수능은 얼마나 올라갈지…
-
그냥 나는 아가가 된거같아
-
지금 대학교 너무 잘 다니고 있습니다. 근데 원서철 다가오니까 아 한장써볼까라는...
-
양치기 가능(양치기하기 싫으면 대표유형만 풀면됨) + 별로 내신틱하지X(이거 풀다...
-
교재패스도 사고 낱권도 살 수 있나요?
-
뿌린다 4
-
다 아는 내용이면 개추
-
갠적으로 미적 88이랑 똑같아야된더고 보는데 훨씬 높네 확통이 역시 적폐
수학까지 잘하시는 국어 강사님...ㄷ
해설강의 찍고 편집할 때면 이 세상 다른 모든 것들이 흥미로워져서 큰일이에요 ㅎㅎ
제가 공부할때와 같은 모습이시군요..
x가 하기 싫을 때는
x보다 더 하기 싫은 것을 찾으면 좋더라고요. ㅋ
오 ㅋㅋ 써먹어 보겠습니다
그저 GOAT...
고맙습니다. :)
와 설명 진짜 잘하시네요. 이해가 쉽게 되네요
고맙습니다. PSAT/LEET 수험생들에게 하도 질문을 많이 받다보니, 자연스럽게 설명이 진화(?)했습니다. ㅋ
비트겐슈타인의 논리철학논고를 통해서 1차 술어논리에 대해 혼자 공부할 때가 떠오르는 글이네요. 잘 읽고 갑니당
재미있게 읽어주셔서 고맙습니다. :)
논고를 통해서 1차술어논리요?
대단하시네…
어찌보면 당연히 여자와 남자가 동시에 존재할수있다는 생각이 드는데 이걸 수학으로 !
집합과 명제를 좀 현란하게 확장해서 수능/PSAT/LEET를 가르치고 있습니다. ㅋ
쉽게 말하면 모든 사람이 남자이거나 여자일수 있다에서 "모든 사람은 남자" or "모든 사람은 여자"가 도출되진 않는다
네, 그리고 "한 명 뽑아봤더니 남자라고, '모든 사람은 남자'라고 단정해서도 안 된다. " 정도를 추가할 수 있습니다.
요새 수학강사는 국어도 잘하네
오르비 신규 수학 강사 이해황입니다. 잘 부탁드립니다.
10대 때 로즈마리 수열을 투고한 적 있습니다.
https://oeis.org/A026644/a026644.html