칼럼) 수학은 어떻게 공부해야 하는가 - 능동사고
안녕하십니까 의머생 조유리입니다.
슬슬 장마도 끝나고 수험생활도 중후반부로 접어드는 타이밍인데요, 요즘따라 유독 수학 점수가 안 올라 고민이라는 분들이 많이 계셔서 이에 대해 도움을 주고자 한 번 글을 적게 되었습니다.
이 글은 70점대 초반부터 80점대 후반대의 점수를 받는, 3등급에서 1등급 초입분들의 실력 향상을 위한 글입니다.
들어가기에 앞서, 수학 공부에서 제일 중요한 것은 무엇일까요? 여러 가지 답이 있겠지만 그중에서도 ‘양치기‘라는 대답이 가장 많이 나올 거라고 예상합니다.
양치기, 물론 효과적인 공부 방식이나 아주 큰 한계가 있습니다.
바로 유통기한이 존재한다는 것인데요, 새로운 개념을 배울 때나 새로운 유형의 문제를 풀 때는 양치기에 비례해서 정답률과 점수가 오릅니다. 여러 번 반복하면서 그 유형에 숙달이 되기 때문에 가능한 것입니다. 하지만 어느 정도 수준에 도달하면 더 이상 얻는 것이 없습니다. 그저 기계적으로 “삼차함수가 나왔네? 미분해야지.“ 이렇게 무지성으로 풀게 됩니다.
여기서 제가 강조하는 것은 ‘능동사고’입니다. 저는 공부를 할 때 능동성을 강조합니다. 능동사고란 문제를 풂에 있어 스스로 생각을 하는 것을 말합니다.
단순히 이 식을 보면 미분을 해야 돼가 아닌, 이 식을 볼 때 왜 미분을 해야하는가를 능동적으로 생각해야 합니다.
또 조건에서 무엇을 얻을 수 있는지, 조건에서 얻은 정보를 어떻게 가공해야 문제를 풀 수 있는지, 이 식이 왜 나올 수밖에 없는 지에 대해 필연성을 부여하는 방식으로 공부를 하셔야 합니다.
우선 능동사고를 이용한 문제 풀이를 보여드리겠습니다.
다음은 22학년도 9월 모의고사 20번 문제입니다.
다들 보셨나요? 능동사고의 핵심은 질문과 대답에 있습니다. 지금은 제가 풀이에 Question과 Answer를 나눠서 적었지만 저 일련의 과정을 여러분은 머릿속으로 하시면 됩니다.
우선 문제에서 묻는 바를 확인합니다. 이 문제에서는 방정식의 실근의 개수가 4가 되도록하는 정수 k의 값에 대해 물었습니다.
Q. 실근이 4개라는 말의 뜻이 뭘까? (문제에서 묻는 바를 확인)
= 미지수를 한 쪽으로 몰아넣었을 때 그 식과 y=k와의 교점의 개수가 4개이다.
Q. 그 교점은 어떻게 구할까?
= 함수를 정리해서 그린 후 y=k와의 위치 관계를 따져야한다. 그러려면 우선 절댓값 기호를 벗겨야한다. (절댓값 기호 처리 필요성에 대한 이유를 부여)
Q. 절댓값 기호는 어떻게 벗길까? (풀이 방법에 대한 능동적 사고)
=절댓값 기호 안에 있는 식인 f(x)+x의 x값에 따른 부호를 조사한다.
(중략)
한 문제 더 보겠습니다. 다음은 22학년도 수능 30번입니다.
이 문제 역시 문제에서 묻는 바를 우선적으로 확인합니다.
Q. 문제에서 묻는 바는?
A. 
이후 문제에서 주어진 단서들을 어떻게 쓸 수 있게 가공할지 생각합니다.
Q. 문제에서 어떤 단서들을 뽑을 수 있는가?
A. f(1)=1 >> g(2)=2=f(2) (q. 어디까지 구하는가?)
f(2)=2 >> g(4)=4=f(4) (a. 적분구간인 1~8까지 - 이유 부여)
f(4)=4 >> g(8)=8=f(8)
+
결국 적분 구간 2~4, 4~8 f(X) 적분 식의 값만 구하면 답이 나온다는 것을 알 수 있습니다.(정답한정)
이후는 치환 적분 x=g(t)와 (나) 조건을 이용해 계산으로 마무리하면 됩니다.
마지막으로 정리를 하자면 수학 문제를 풀 때 본인이 어느 정도 수준에 도착했고 점수에 정체기가 찾아왔다면 능동사고를 하는 연습을 하셔야 합니다. 능동사고의 핵심은 스스로에게 질문을 던지고, 그 질문에 답을 찾는 과정에 있으며, 그 과정의 의의는 본인 나름의 이유를 대어 필연성을 부여함에 있습니다.
말 그대로 능동, 즉 문제를 푸는 내내 끊임없이 생각을 해야하기 때문에 귀찮을 수 있으나 절대 건너뛰면 안됩니다.
만약 문제를 풀 때 근거를 못 찾겠으면 일단 풀고 나중에 채점할 때 해설지와 함께 보면서 근거를 찾아봐야 합니다. 설사 문제를 맞췄더라도 이 과정을 생략하시면 안됩니다. 이번 한 번은 근거 없이 맞췄을지라도 다음에 비슷한 문제가 나올 때 맞추리란 보장이 없기 때문입니다.
귀찮은 것을 꼼꼼히 잘하는 학생이 실력이 제일 빨리, 많이 오릅니다. 공부는 변태처럼 할 필요가 있습니다.
또 문제를 풀 때 단순히 눈앞에 있는 N제를 해치운다기보다 진짜 문제에서 무언가를 얻어가겠다는 마음가짐으로 푸셔야 실력 증진이 있을 것입니다.
추가) 공부 관련 질문은 쪽지나 옾챗으로 주시면 확인하는 대로 답변해 드리겠습니다!
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힘든 길 맞아요 하지만 제대로 하면 이만큼 실력 오르는 방법도 없죠!
꼼꼼하게 읽어볼게요!선추천
칼럼 올리신다고 하셨을때부터 기다리고있었는데 드디어 올라왔네요!
요즘 수학성적 올리기에 시간을 많이 쏟고 있었는데 꼼꼼히 읽어보고 공부하는 과정에 적용해보도록하겠습니닿!!:) 감사함니당
공부끝나면 다시 읽어봐야겠네요.좋은글 감사합니다-!
덕코 감사합니다좋은 글입니다!
기출 말고도 엔제로도 이렇게 하셨나요? 아니면 그런걸 추천하시나요?
기출, n제 모두 이렇게 진행합니다. 양치기 할 때 그냥 쓱 풀고 지나갔던 기출도 능동사고로 다시 풀면 얻는 게 분명 있을 거에요. N제는 두말할 것도 없고요.
요글 복사해서 pdf 로 만들었어요 내일 인쇄하려고 감사합니당 잘 읽었어요
읽어주셔서 제가 더 감사합니다!
기출 분석 고고혓!
원래 머리 깨지면서 성장 하는건데 많이들 간과하죠 ..
질문 속에 답이 있죠 :)
수업에서도 일방적으로 풀어주기 보다~ 좋은 발문을 통해 학생들이 스스로 생각해 보도록 하는 것이 효과적일 때가 많구요 ㅎㅎ
직관을 최대한 배제한 상태에서 문제를 풀라는 말씀이실까요?
네 맞습니다 직관을 쓰기 이전에 근거를 찾는 것입니다. 하지만 늘 근거를 찾긴 힘들기 때문에 직관으로 문제를 푸는 방법이 보인다면 일단 그렇게 풀고 나중에 채점할 때 다시 찾아보거나 해설지를 참고하는 방법도 있습니다.
손글씨 빼고는 정말 완벽하고 유익한 정보인거 같아요! 문제에서 구하라는게 뭐지? -> 그걸 위해 어떤 조건을 주었지? -> 이런 조건을 통해 문제의 답을 구하라는 거구나. 라는 기계적 형태의 문풀이 아닌 능동적 사고를 하라는 거지요?
맞습니다 조건을 보고 바로 식을 적기 전에 그 식을 적는 이유를 부여하며 공부을 해야한다는 뜻입니다! 글씨체는.. 다음 글에서 노력해보겠습니다
ㅇㄷ
쪼율 폼 미춋다
이거 진짜 맞는거 같습니다… 물리는 이 방법으로 공부하는데 수학은.. 노래 들으며 해서.. 노래는 수능 끝나고 듣고 수학도 습관 고치고 제대로 공부해야겠네요 ㅠㅠ