우주론 강의 2. 우주의 밀도와 우주 모형
저번 글...
1. 프리드만 방정식
프리드만 방정식은 우주가 등방성과 균질성을 만족할 때 유도되는, 우주를 지배하는 방정식이라고 할 수 있다.
G는 만유인력 상수, rho는 밀도, P는 압력, c는 광속, H는 허블 상수, a는 척도인자이며 무차원이다. 또, k는 우주의 곡률을 나타내는 수이며 k=0이면 평탄한 우주, k > 0이면 닫힌 우주, k < 1이면, 열린 우주이다. 이때, k의 단위는 /m^2 이다.
혹은 로버트슨-워커 계량에서 r을 무차원으로 두고, a를 m단위로 쓸 수도 있다. 이런 경우에는 k는 –1, 0, +1 중 하나의 값을 가지며, 무차원의 수가 된다.
2개의 식을 프리드만 방정식이라고 한다. 우리는 이 중 첫 번째 식을 활용하여 몇 가지 우주 모형을 살펴볼 것이다. 당연하지만, 프리드만 방정식은 모두 등방성과 균질성을 가정하므로, 이로부터 유도되는 우주 모형들은 모두 허블 법칙이 성립한다.
2. 등속 팽창 우주
첫 번째 식에 a^2을 곱하면 다음을 얻는다.
이 문단에서는 편의상 로버트슨-워커 계량에서 r을 무차원의 수로, a를 m단위로 생각하겠다. 이러면 k는 –1, 0, 1 중 하나의 값을 가져야 하니, 우변의 두 번째 항은 상수가 된다. 이제 등속 팽창하는 우주이므로 da/dt 는 상수이다. 좌변이 상수이기 위해서는 rho = 0이어야 할 것이다. 왜냐하면, 우주의 밀도가 0이 아닐 경우, 우변의 첫 번째 항은 우주의 크기에 따라 값이 바뀔 것이며, 우변이 상수가 되지 않는다. 따라서 이 우주는 우주에 아무것도 없는, 텅 빈 우주이다. 또한, 좌변은 양수이므로, 우변도 양수여야 하니 k = -1, 즉, 이 우주는 열린 우주임을 알 수 있다.
정리하면, 등속 팽창 우주는 텅 빈 우주이고, 우주의 기하학적 모양은 곡률이 음수인 열린 우주이다.
3. k = 0이며, 우주의 밀도 = 우주의 물질 밀도인 우주
이 문단부터는 저번 글에서와 같이 척도인자를 현재 값이 1인 상대적 크기로, r을 m(미터)단위로 쓰겠다.
k = 0 일 때의 밀도를 임계밀도라고 하고, rho_c 로 쓰자. 그러면 프리드만 방정식을 정리하여 다음을 얻는다.
현재는 첨자로 0을 붙여서 표기하자. 현재 우주의 임계밀도는 다음으로 쓸 수 있다.
rho_c,0은 현재 우주의 임계밀도, H_0는 현재 허블 상수이다.
이제 밀도 변수를 다음으로 정의하자.
우리가 다룰 우주 모형은 k = 0이므로 Omega = 1인 우주이다.
이제부터 첨자 m을 붙인 것은 물질을 의미한다.
이제 이런 상황에 대해서 알아볼 것이다.
k = 0 이므로 프리드만 방정식은 다음으로 쓸 수 있다.
현재에 대해서는 위 식을
로 쓸 수 있다.
우주의 총 물질은 일정할 것이므로 물질 밀도는 척도인자의 세제곱에 반비례한다. 그러므로 물질 밀도는 다음으로 쓸 수 있다.
현재의 척도인자 a_0 = 1을 대입하였다. 이것으로 치환하면
이 된다. 이제 a로 정리하면
을 얻는다. 우주의 크기는 시간의 2/3 제곱에 비례한다. 또, 빅뱅 이후 현재 우주의 크기(a=1)에 도달할 때까지 걸리는 시간은
를 얻는다. 이것이 이 우주 모형에서의 우주의 나이가 된다.
4. 암흑 에너지(우주 상수)를 가정하며, k = 0 인 우주
이 경우는 풀이 과정이 길기 때문에 결과만 기술하겠다.
이 우주 모형의 경우 척도인자를 시간에 대해 미분하여 da/dt를 구해보면 그 값이 감소하다가 어느 순간부터 다시 증가하는 것을 볼 수 있다. 그래서 이 우주 모형을 가속 팽창하는 우주 모형이라고 한다. 또, 이 우주 모형의 경우 허블 상수는 항상 감소한다.
이 외의 우주 모형은 생략함.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
난 오늘도 도둑놈이 되는 꿈을 꿔… 내가 합격자 중 제일 모자란 사람이었으면…
-
작년 모의고사 - 문제는 좋으나, 학교측 예시답안은 공부할 가치가 없다. 올해...
-
아포칼립스언제옴 3
-
어떤 근건지 알려주실분...?? 그거랑 별개로 문제 퀄이 왜 이래요??
-
숫자 비교할때 0
A=30 이고 B=90이면 B는 A보다 두 배 많다 or 세 배 많다. 뭐가 맞음?
-
3 5 6 7 9모 국어 2 4 4 3 2 영어 2 3 3 3 2 수학 4 4 4...
-
수능“만“ 보러 오는 실수들 중에서는 대부분 관성에 의해서 과탐칠 확률이 커서 과탐...
-
미친것같은데 진짜 엔트로피 나오는 것 부터 이해가 1도 안됨 요즘 좀 폼 괜찮은것 같았는디..
-
1년동안 박았는데 2컷이라 전 소질이 없는듯…..오늘 한지로 신청 했지만 마음만큼은...
-
[가] 이 그림은 수험생의 심란한 마음을 표현한 작품이다. 붉은색과 검은색의 혼재된...
-
과탐필수대학 쓰면 그만 투 표본중에 나보다 국수 잘 볼 사람 얼마나 있다고 자신감.자신감.자신감.
-
17분남았는데 아직도 이러고 있다 ㅌㅋㅋㅋㅋ 나 스스로도 내가 이해안됨 내가 이따구...
-
이번 문제인데요 제가 푼 방법이 어떤지 한번 봐주시면 감사드리겠습니다 신경 3에서...
-
반박하는건 그냥 본인이 쫄리거나 사탐 선택하고 자연계 가는 사람들에 대해 비난하고...
-
개어렵다 vs 이 시험지가 1컷 45?ㅋㅋㅋ 개꿀
-
황밸인듯 하여 올려봅니다
-
난 이미 해서 상관없긴한데 몇시까지임?? 아직 못한사람들 저녁먹고 가능??
-
클모 떴냐? 0
떴으니까 올리지 ㅋㅋ 모두 구매하도록
-
있을까요? 꿀모, 양모는 풀었고 풀고 있습니다! 서바나 강k는 중고거래로 구할 수...
-
남은기간 1
진짜 간절한데 남은기간동안 노베이스기준(올6?) 하루4시간수면으로 죽어라하면 어디까지가능해? 문과야
-
도함수 안 물어본거 물어봤으면 더 재밌었을텐데
-
콴다보고 풀이 그대로 베낀건데 이거 풀이 쓴거 오류없을까요? 답은 13이 맞다함요
-
2025 9월 모의고사 생명과학Ⅰ 손풀이 (2년차 약사) 0
2년차 약사님의 9월 모의고사 생명과학1 손풀이입니다. 약간의 해설 첨부하셨습니다....
-
사탐기메디컬 됨?
-
이과인데 동일 학교 이과 컷은 빡빡한데 문과는 널널해요ㅜ 그래서 문과로 넣고싶은데...
-
누가 공부 잘 했다고 생각하시나요?
-
제발요 좀와주세요시발
-
그들이 가이드 없이 커뮤니티 안에서 시간을 보냈을지라도 그들은 일반적으로 중요한...
-
질답 시급 2
1시간에 12000원 한달 뒤 13000원에 해주신다는데 이정도면 할만한 건가요?
-
뽑긴 할까???
-
미적28 29는 기하보다 횔씬쉽고 계산도 없었네 흠..
-
도망친 곳에 낙원은 없다 하지만 과탐은 지옥인거 인정한다
-
언매 확통 정법 사문 영어
-
내꿈은 락스타
-
수능 수학 만점으로! 수 모의고사 무료 체험 이벤트⭐ [ 9/28(토) ] 0
안녕하세요 메가스터디학원입니다. 오는 9월 28일 토요일 수 모의고사 무료체험이...
-
그때까지 국어 뭐 해야할까..
-
이촌역인데 경찰이랑 버스 꽤 배치된듯
-
지금 잇올 등록 0
해도 괜찮겠죠 ㅠㅠㅠ
-
국어 6모때 백분위 96이고 9모때 97점이면 뭐해야함? 2
수능때도 이렇게 나올지 모르겠어서 불안해서 물어봄
-
암묵지를 명시지화 하는 힘 ㄷㄷ
-
미적사탐이고 만약 저렇게 나오면 서울대 문과 가능한가요? 의대급 점수 나와야되나요
-
우리 고양이 귀엽죠? 이름은 나비에요 나비! 고양아 인사해! 오뿌이 오빠...
-
물2 실모는 왜 3
오랜만에 벅벅중인데 아직도 강k가 서바보다 좋지
-
역시나 바로 호아곡 때려버리네 ㅁㅊ 8덮에도 있었고 덕분에 3따리인 본인 공통...
-
빠진 거 잇음?
-
각각 거의 10초 차이로 세번 무단지각 하게됏는데 어쪄죠 지각한거 싸인하라해서...
-
ㄷㄷㄷ
-
오늘까지 접수인데 접수 안하고 군산으로 혼 드라이브 옴
-
사탐의 한계 2
1컷 50나오면 2등급이 걍 종이쪼가리가 됨 ㅋㅋㅋㅋㅋ 입시에서 타격이 너무 큼
선생님 너무 어렵습니다;;