Chern-Simons invariant in hyperbolic 3-manifold
Definition (Chern-Simons 3-form). Let $\pi:P\to M$ be a smooth principal $G$-bundle. Suppose we are given an $\mathrm{Ad}$-invariant symmetric bilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathcal{g}\times\mathcal{g}\to\Bbb C$. (i.e. $\langle\mathrm{Ad}_ga,\mathrm{Ad}_gb\rangle = \langle a,b\rangle$) The Chern-Simons 3-form $\alpha$ of a connection $\omega\in\Omega^1(P,\mathcal{g})$ is
$$\alpha(\omega) = \langle\omega\wedge\Omega\rangle - {1\over 6}\langle\omega\wedge[\omega\wedge\omega]\rangle = \langle\omega\wedge d\omega\rangle +{1\over 3}\langle\omega\wedge[\omega\wedge\omega]\rangle\in\Omega^3(P,\Bbb C).$$
In particular, if $M$ is a compact oriented smooth 3-manifold with or without boundary, and if there exists a smooth section $\sigma:M\to P$, the Chern-Simons invariant is
$$\mathrm{CS}_G(M,\omega,\sigma) = \int_M\sigma^*\alpha(\omega)\in\Bbb C.$$
물론 여기서 Chern-Simons 3-form의 각각의 항에 대한 설명이 필요하다. 보통 $\mathcal{g}$-valued form의 wedge product는 다음과 같이 정의한다: 만약 $\alpha = \alpha^iE_i$, $\beta = \beta^jE_j$, 여기서 $E_i$는 $\mathcal{g}$의 basis를 뜻한다. 그러면 각각의 $\alpha^i$와 $\beta^j$는 differential form들이고, 따라서 wedge product가 이미 정의가 되어 있다. 따라서,
$$[\alpha\wedge\beta] = \alpha^i\wedge\beta^j [E_i,E_j]$$
로 정의를 한다. 다시 말해서, coefficient들의 wedge sum을 하고 basis들의 Lie bracket을 이용해서 정의한다.
따라서, Chern-Simons 3-form에서 각 항들은 wedge product의 coefficient들에 주어진 bilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle$을 적용해서 정의하는 것이다.
만약 $G$가 Lie group이라고 한다면, $\langle\cdot,\cdot\rangle$은 $\Bbb R$-valued로 보통 다음을 사용한다:
$$\langle a,b\rangle = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(ab).$$
예를 들어, oriented Riemannian manifold $M$이 있을 때, frame bundle $FM\to M$을 항상 associate할 수 있는데, 만약 $\nabla$가 Levi-Civita connection이라고 한다면, Chern-Simons 3-form of $\Delta$는
$$\alpha(\nabla) = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(\omega\wedge\Omega - {1\over 3}\omega\wedge\omega\wedge\omega) \in\Omega^3(FM,\Bbb R)$$
가 된다. 참고로 위의 $\mathcal{g}$-valued form으로의 대응은 다음의 대응 관계로 다시 볼 수 있다:
$$\{\text{metric connection }\nabla\text{ on }TM\to M\}\leftrightarrow\{\text{principal }SO(n)-\text{connections }\omega\text{ on }FM\to M\}$$
* 참고로 Principal $G$-bundle에서의 connection 1-form은 원래 connection 1-form과 좀 다르게 정의하는데, 원래 connection 1-form은 local하게 밖에 정의가 되지 않는데, principal bundle의 경우에는 global하게 정의할 수 있다.
$\omega\in\Omega^1(P,g)$가 connection 1-form이라는 것은, (1) $\omega_p(\underline{X}_p) = X$ for any $X\in\mathcal{g}$ and $p\in P$, (2) $r_g^*\omega = \mathrm{Ad}_{g^{-1}}\omega$ 인 경우를 말한다. 여기서 $\underline{X}_p$는 소위 fundamental vector field라고 불리는 것인데,
$$\underline{X}_p = d/dt|_{t = 0} p\cdot e^{tX}\in T_pP$$
로 정의한다.
$\omega_p$는 canonical 한 choice가 있는데, 만약 $v:T_pP = V_p\oplus H_p\to V_p$가 vertical component로의 projection이라고 한다면, $V_p$는 $\mathcal{g}$와 $G\to P, g\mapsto p\cdot g$의 tangent map에 의해서 identify할 수 있고, 따라서 $\omega_p = v:T_pP\to\mathcal{g}$로 정의할 수 있다.
참고로 이러한 connection 1-form이 principal bundle에 정해져 있으면, 1-form의 kernel로 horizontal distribution을 잘 정의할 수 있다.
왜 이런식으로 Chern-Simons 3-form을 정의했는지 의문이 될 수 있는데, 한 가지 계산을 통해서 알 수 있는 것은
$d\alpha(\omega) = \langle\Omega\wedge\Omega\rangle$이 된다는 것. $\nabla$에 대해서는
$d\alpha(\nabla) = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(\Omega\wedge\Omega)$가 된다. $[\mathrm{tr}(\Omega\wedge\Omega)]\in H^{4}(M)$가 Pontryagin class인 것을 상기해보면, Levi-Civita connection의 Chern-Simons 3-form은 Pontryagin class의 potential로 정의된다는 것을 알 수 있다. 일반적으로, 홀수 $p=2n-1$에 대해서 Chern-Simons $p$-form은 $[\mathrm{tr}(\Omega)^{2n}]\in H^{4n}(M)$의 potential, 다시 말해서 $d\alpha_{2n-1} = c_n\mathrm{tr}(\Omega\wedge\cdots\wedge\Omega)$인 $p$-form on $M$을 말한다. 여기서 $c_n$은 그냥 아무 constant나 잡아도 된다.
정의를 보면, Chern-Simons invariant는 global section에 depend가 된다. 우리는 적절히 mod를 해서 Chern-Simons invariant를 global section에 depend하지 않도록 하고 싶다. 이걸 위해서는 global section에 얼마나 CS-invariant가 변하는지 알아야 한다.
이러한 dependence를 반영하는 공식이 있는데, $\varphi:P\to P$를 smooth fiber bundle isomorphism이라고 하고 $g_{\varphi}:P\to G$를 $\varphi(p) = p\cdot g_{\varphi}(p)$로 정의하자. (앞에 나온 $p$에서의 fiber와 $G$와 identify를 하는 map이다.)
Proposition. Let $\varphi:P\to P$ be a bundle isomorphism. Let $g = g_{\varphi}\circ\sigma$.
$$\varphi^*\alpha(\omega) = \alpha(\omega) + d\langle\mathrm{Ad}_{g^{-1}_{\varphi}}\omega\wedge g^*_{\varphi}\mu\rangle - {1\over 6}g^*_{\varphi}\langle\mu\wedge[\mu\wedge\mu]\rangle.$$
In particular,
$$\mathrm{CS}_G(M,\varphi^*\omega,\sigma) = \mathrm{CS}_{G}(M,\omega,\varphi\circ\sigma) = \mathrm{CS}_G(M,\omega,\sigma)+\int_{\partial M}\langle\mathrm{Ad}_{g^{-1}}\omega\wedge g^*\mu\rangle - {1\over 6}\int_M g^*\langle\mu\wedge[\mu\wedge\mu]\rangle.$$
$G = SO(3)$인 경우에는, 가장 마지막 term은 $2\Bbb Z$라는 것이 알려져 있다. 따라서, $\bmod{\Bbb Z}$에서는 $\mathrm{CS}_{SO(3)}(M)$은 $\Bbb R/2\Bbb Z$에서 잘 정의 된다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
특기시험? 폐급으로치는거아닌이상은 지잡대 경제인데 어지간하면가나요?
-
모아야 된다 ㅋㅋ 지잡 전문대 고졸 애들 보니까 ㄹㅇ 토나옴 ㅋㅋ 최소 인서울...
-
구라 안치고 너무 쉬운거 아닌가 진작에 수리 논술 좀 준비해서 경기권 말고 다른데...
-
이거 왜나오냐
-
지금LPL상황 0
스카웃 출국금지걸림..
-
뭐사져
-
지금은 어케됐는지 모르겠네요 되게 안타까운 사연때문에 많이들 도와주신걸로 기억하는데 ㅠㅠ
-
그냥 미적 30번 25로 찍었는데 둘다 맞던데요?
-
Ebs 연계를 어느 정도까지 해야함? 예를 들면 해산바가지 하면 스토리를 다 아는데...
-
글 두서없어서 미안 이제 그냥 그만 포기하고 엠창인상살까 하소연임 글 너무 길면...
-
나도 걍 3
이세계나 가고 싶다
-
진짜 나올 가능성 충분한 게 평가원 이새끼들 2024 수능 때부터 자꾸 미출제요소...
-
바로 들을까요 아님 내일 들을까요?
-
ㅈㄱㄴ
-
과외 드랍할때 0
6평 이후부터 지금까지 수학 과외 했었는데 아마 이번달까지만 할거같음 언제쯤...
-
ㅁㅌㅊ?
-
어떤 해는 모 강사 믿거 이러는데 한 2년 뒤면 그 강사 찬양글 ㅈㄴ 많이 보임
-
연휴라 그런지 식당들이 다 쉰다..
-
물2에선 꿀이지
-
19번 니런버그 실험 실화냐 20번 원형 플라스미드 제한효소 실화냐
-
고2때 못풀었던거 최근 과외하면서 다시 발견해서 풀어봤더니 올해는 풀리네요 캬캬캬...
-
뼈를 깎는 노력(물리)만 하면 180넘음
-
수시충들 PTSD ㅋㅋ 13
양치기하는 이 감성 rgrg
-
수학 nㅈㅔ 0
N제 추
-
이게 왜 나옴?
-
후라이드vs양념 2
대신 후라이드는 소금을 드림
-
문득 든 생각인데 지금이 예전 가나형 시절보다 대학가기 힘든가? 2
그때를 경험한건 아니지만 이과는 공부량이 좀 준거말곤 없는거같고 문과는 수학이...
-
공벡 분해 노가다 실화냐?
-
넵
-
가라고 누가 잔소리좀 해주세요
-
나아님
-
풀어주실건가요??
-
처음엔 개념강의땜에 1타 가신줄 알았는데 파이널까지 남아계시다니 ㄷㄷ 대성은 이미지가 접수한닷
-
유튜브에 자꾸 대학합격반응영상 뜨는데 수능 전에 수시합격은 대부분 발표하는듯한데...
-
약대 겨우 가겠죠?
-
9월 사회문화 해설은 강사가 오개념을 심어줄 수 있다고 봅니다 3
9월 모의평가 사회문화 20번입니다. t 시기 기준 세대별 비율은 다음과 같습니다....
-
3차함수 4차함수 합성인데 이거 맞냐
-
어떤 한 과목을 좋아한다는게 성적 올리는데 진짜 크게 작용하는거 같음 3
작년 현역때 3모 5모 근데 이상하게 4등급이 떠도 인강 없이 기출 벅벅만 하면서...
-
머리에 든 게 없으면 그냥 인간적으로도 상종하기 싫음 그냥 말 몇 마디 해 보면 딱...
-
1컷 37 만표 83 실화냐?
-
꿈꿨어 5
고대 다니는 꿈을 행복했다
-
위치 빼면 모든게 탑임 군기 없지 절대평가제지 마이너 티오 많지
-
9평 4등급이 듣기에 괜찮나요
-
남 뭐라할 때가 아니였네
-
물리 2~3나온다 가정하에
야해오