Curl-Div
Curl-Divergence lemma라고 함수열의 수렴에 대해서 이야기 하는데 희한하게도 Curl과 Divergence에 bound를 주는 것을 가정으로 하고 있다. 직관적으로 이게 어떻게 연관되어 있는지 잘 와닿지 않는데, 일단 statement 먼저 보자.
The Curl-Div lemma. Suppose $u_m\rightharpoonup u, v_m\rightharpoonup v$ weakly in $L^2(\Omega;\Bbb R^3)$ on a domain $\Omega\subset\Bbb R^3$ while the sequences $\operatorname{div} u_m$ and $\operatorname{curl} v_m$ are relatively compact in $H^{-1}(\Omega)$. Then for any $\varphi\in C^\infty_0(\Omega)$ we have
$$\int_{\Omega}u_m\cdot v_m\varphi dx\to\int_{\Omega}u\cdot v\varphi dx$$
as $m\to\infty$.
여기서 나오는 $\cdot$ 은 Euclidean space에서의 내적을 의미한다. Statement의 의미를 다시 말하면, 미분에 bound를 줘서 nonlinear expression 의 weak continuity를 얻어내는 것이다.
이걸 differential form의 언어로 바꿔서 표현을 하기 시작하면, 이 curl과 div에 boundness 조건을 주는 것이 weak convergence에 어떤 영향을 주는지 좀 더 직관적으로 드러난다.
$M$을 closed oriented smooth $n$-manifold라고 하자. 이제 $u_m\rightharpoonup u, v_m\rightharpoonup v$ in $L^2$ such that $(d^* u_m), (dv_m)$ 들이 $H^{-1}$에서 relatively compact라고 하자. 이 조건은 위의 Curl-Div lemma에서 Curl과 Div의 relative compactness와 대응된다. $u_m, v_m$을 $u_m - u, v_m - v$로 바꿔서, $u = 0, v = 0$으로 가정할 수 있다. 그러면 Hodge decomp.에 의해,
$$u_m = da_m + d^* b_m + c_m,$$
$$v_m = df_m + d^* g_m + h_m,$$
where $c_m,h_m$ are harmonic 1-forms and $a_m \rightharpoonup 0, b_m \rightharpoonup 0, f_m \rightharpoonup 0, g_m \rightharpoonup 0$ in $W^{1.2}(M)$, $c_m \rightharpoonup 0, h_m \rightharpoonup 0$ in $L^2(M)$ 이런 것을 얻을 수 있다.
Hodge decomp.의 consequence중 하나가 $M$위에서의 space of harmonic 1-form들의 공간은 locally compact이다. 따라서, smooth하게 $c_m \to 0$, $h_m \to 0$ 된다. 또한 가정에 의해서 $\Delta a_m = d^* u_m, \Delta g_m = dv_m$이 $H^{-1}$에서 relatively compact이기 때문에, $(da_m),(d^* g_m)$은 $L^2$에서 precompact하게 들어가있다. 따라서,
$$u_m = d^* b_m + o(1),\quad v_m = df_m + o(1),$$
in $L^2$가 된다. 또한,
$$\langle u_m,v_m\rangle_g \omega_g = \ast (\langle d^*b_m, df_m\rangle_g) = (d\ast b_m)\wedge df_m = d((\ast b_m)\wedge df_m),$$
임을 알 수 있다. 여기가 그 "미분"의 모습이 드러나는 핵심적인 부분이다.
구체적으로 말하진 않겠지만, Rellich theorem 이라는 것이 있는데, 이것은 $b_m\to 0$ in $L^2$임을 imply한다. 따라서
$$\int_M \langle u_m,v_m\rangle_g\varphi\omega_g = \int_M d((\ast b_m)\wedge df_m)\varphi + o(1) = (-1)^n \int_M (\ast b_m)\wedge df_m\wedge d\varphi + o(1) = o(1).$$
따라서 앞선 Curl-Div lemma와 같은 결론을 낸다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
ㅅ1바 물투만점받앗는데 표점61은 억울핑이여
-
운석열 레전드 1
요샌 운석열보다 윤석열이 훨씬 더 레전드라네요~
-
수시 조금이라도 챙길껄
-
가끔가다 사먹을것 같아요 프렌차이즈에서 만든 실모치고는 괜찮네요
-
모르셔도 됩니다!
-
그건 창문에 비친 저였구요..
-
궁금해서
-
이거 왤케 사설틱하면서 ㅈ같지 언매 1틀인데 문학 나만ㅈ같음?
-
이 ㅅㅂ 사설치면 매체에서 무조건 한개 나가는듯 그냥 손가락걸기 안해야되나요?
-
본인 체감 뭐가 더 어렴나요
-
흐헤헤
-
ㄷ선지에서 가설2는 갑의 연구에서 수용된다고 하였는데 선생님께선 야구경험의 유무에서...
-
올해 인강으로만 공부한게 임팩트 랑 7월쯤에 기특한 잘잘잘 지금 파이널 체크 포인트...
-
11덮 물2 블랭크 11
무보 만점자 15퍼 ㅋㅋㅋ 돌겠네
-
QnA 고트 0
갓기상
-
왜 술자리에서 하실만한 말씀을 하고 계시죠?
-
11덮 보정 0
물보정인가요?? 보정이랑 무보정 차이가 너무 많이 나는데..
-
아니면그냥 이혼을하시던가
-
물리때문에 큰일이났군... 보정해도 중경외시인거같은데
-
대통령님 정치하지 마시고 술이나 드시러 다니지 그러셨어요. 6
그게 모두의 평화입니다.
-
가즈아!
-
시간이 좀 뜨는군
-
ㅉㅉ 또 개짓이구나 하면서 무혐의 기각 개띄워주는데 아무래도 사법처리과정이라는게...
-
김재하쌤 남은 실모 2회 풀고 복습하면서 그 외의 남는 시간은 국어에 거의 다...
-
8-12차 중에 두개 정도 풀고 들어갈거 같은데 퀄 괜찮은거 추천해주실 수 있으신가용
-
바로 2000명 증원을 하며
-
ㅈㄱㄴ 그리고 이정도는 기본 개념인가요? 수능에 나올만한가요?
-
국어 실모 기출 0
25 기출 24 기출 23기출까지 최근에 다시 무한반복했는데 사설실모 2회독 하는거...
-
14121 ㅋㅋㅋㅋㅋ.. 수학 진짜 어캄..
-
11덮 언매 2
87점 1등급 가능할까요
-
11덮 국어 3
언매 보정 1,2컷 몇인가요? 어디서봐야하는지모르겟어요..
-
더프 컷 뭐임 0
아니 화작이 보정해도 95점이라니..
-
학기 중 꿀알바 과외. 이제는 잡을 수 있습니다. 과외 많이 알아보는 시기입니다....
-
11월 더프 1
보정 미적 영어 화1 지1 2131 원점수는 76 100 37 48 국어는 풀 때...
-
지금 한지 세지 둘다 이개다 이만복만 끝낸 상태고 문제 많이 못 풀어봄 일주일 남은...
-
언미 경제 사문 90 88 45 43 2111 국어 언어파트에서 4점 날린게 크다...
-
고양이 3
애옹
-
난이도 예측은 의미없는데 등급컷이 예상보다 높을거란건 확실한거같다
-
11더프 2
무보정 62321 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
매년 빗나간적이 없어
-
그냥 22살에가려고했는디. . .ㅠ
-
컨셉에 사람이 잡아먹힘
-
이원론 풀다가 진짜 죽는줄알았네 아니 두뇌에 정신이라했으니까 기계는 정신 없는거...
-
1. 1등급/만점은 힘들어도 2등급 받기에는 참 좋은 과목인듯 2. 현역이로서...
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.