Whitehead Torsion
Motivation: "그들의 대화" 에서 최근에 나오는 핵심 용어들 중 하나가 Whitehead torsion이라는 것인데, 이러한 것을 고려하는 이유에 대해서 먼저 설명하기로. 모든 것의 기원은 소위 "cobordism theory"에 기반을 함: Let $M$ and $N$ be smooth closed manifolds of dimension $n$. An \textit{$h$-cobordism} from $M$ to $N$ is a compact smooth manifold $B$ of dimension $(n+1)$ with boundary $\partial B \cong M\coprod N$ having the property that the inclusion maps from $M$ and $N$ to $B$ are homotopy equivalences. If $n\geq 5$ and the manifold $M$ is simply connected, then the Smale's $h$-cobordism theorem says that $B$ is diffeomorphic to a product $M\times [0,1]$ (and, in particular, $M$ is diffeomorphic to $N$).
다시 말해서, cobordism은 두 다양체 M,N을 자연스럽게 interpolate하는 것을 말함. 여기서 $h$는 homotopy를 말하고, 그 이유는 up to homotopy로 interpolate을 했기 때문. 5차원 이상에서는 이것이 어떤 면에서 ``trivial'' 하다는 것을 말함. Smale이 이 정리를 이용해서 5차원 이상에서의 Poincare Conjecture를 풀었음 (예에에전에 한번 이거 관련 글 썼던 것 같음).
이러한 좋은 이유에 의해서 cobordism theory를 not simply connected인 경우에는 어떻게 사용할 수 있을까 사람들이 고심을 하고, 그렇게 나온 것이 s-cobordism theory임. 이것을 좀 더 자세히 설명하기 위해서는 몇몇 정의들이 필요함:
Definition. Let $X$ be a finite simplicial complex. Suppose that there is a simplex $\sigma\subset X$ containing a face $\sigma_0\subset\sigma$ such that $\sigma$ is not contained in any larger simplex of $X$, and $\sigma_0$ is not contained in any larger simplex other than $\sigma$. Let $Y\subset X$ be the subcomplex obtained by removing the interiors of $\sigma$ and $\sigma_0$. Then the inclusion $\iota:Y\hookrightarrow X$ is a homotopy equivalence. In this situation, we will say that $\iota$ is an \textit{elementary expansion}. Note that $Y$ is a retract of $X$; a retraction $X$ onto $Y$ will be called the \textit{elementary collapse}.
Definition. Let $f:Y\to X$ be a map between finite simplicial complexes. We will say that $f$ is a \textit{simple homotopy equivalence} if it is homotopic to a finite composition of elementary expansions and elementary collapses.
모든 compact smooth manifold는 PL 이기 때문에 finite simplicial complex structure를 갖게 됨. 따라서, smooth manifold의 경우에는 simple homotopy equivalence라는 것을 이야기할 수 있음.
s-cobordism theorem. Let $B$ be an $h$-cobordism theorem between smooth manifolds $M$ and $N$ of dimension $\geq 5$. Then $B$ is diffeomorphic to a product $M\times[0,1]$ if and only if the inclusion map $M\hookrightarrow B$ is a simple homotopy equivalence.
이제 이 s-cobordism theorem을 적용하기 위해서는 언제 homotopy equivalence of smooth manifolds $f:X\to Y$가 simple homotopy equivalence인지 알아내는 것. 이걸 Whitehead가 해결했는데, 각각의 homotopy equivalence $f:X\to Y$에 대해서, 어떤 algebraic invariant $\tau(f)$ called the \textit{Whitehead torsion} of $f$ 라고 하고, 이 torsion은 \textit{Whitehead group} of $X$라고 불리는 특정 abelian group $\mathrm{Wh}(X)$에 존재함. 이 torsion이 정확히 simple homotopy equivalence의 obtruction임. 다시 말해서, $\tau(f)$ vanishes if and only if $f$ is a simple homotopy equivalence.
이제 이 Whitehead torsion이 구체적으로 무엇인지 알아보기로. 먼저 앞에서 정의한 simple homotopy equivalence의 정의를 조금 더 구체적으로 적어봄.
Construction 1. Let $D^n$ denote the closed unit ball of dimension $n$ and let $S^{n-1} = \partial D^n$ denote its boundary. We will regard $S^{n-1}$ as decomposed into hemispheres $S^{n-1}_-$ and $S^{n-1}_+$ which meet along the ``equator'' $S^{n-2} = S^{n-1}_-\cap S^{n-1}_+$.
Let $Y$ be a CW complex equipped with a map $f:(S^{n-1}_-,S^{n-2})\to (Y^{n-1},Y^{n-2})$. Then the pushout $Y\coprod_{S^{n-1}_-}D^n$ has the structure of a CW complex which is obtained from $Y$ by adding two more cells: an $(n-1)$-cell given by the image of the interior of $S^{n-1}_+$ (attached via the map $f|_{S^{n-2}}:S^{n-2}\to Y^{n-2}$) and an $n$-cell given by the image of the interior of $D^n$ attached via the map
$$S^{n-1} = S^{n-1}_-\coprod_{S^{n-2}}S^{n-1}_+\to Y^{n-1}\coprod_{S^{n-2}}S^{n-1}_+.$$
In this case, we will refer to the CW complex $Y\coprod_{S^{n-1}_-}D^n$ as an \textit{elementary expension} of $Y$, and to the inclusion map $Y\hookrightarrow Y\coprod_{S^{n-1}_-}D^n$ as an \textit{elementary expansion}.
The hemisphere $S^{n-1}_-\subset D^n$ is a (deformation) retract of $D^n$. Composition with any retraction induces a (celluler) $c:Y\coprod_{S^{n-1}_-}D^n\to Y$, which we will refer to as an \textit{elementary collapse}. Note that the homotopy class of $c$ does not depend on the choice of retraction $D^n\to S^{n-1}_-$.
Definition 2. Let $f:X\to Y$ be a map of CW complexes. We will say that $f$ is a \textit{simple homotopy equivalence} if it is homotopic to a finite composition
$$X = X_0\xrightarrow{f_1}X_1\xrightarrow{f_2}X_2\to\cdots\xrightarrow{f_n}X_n = Y,$$
where each $f_i$ is either an elementary expansion or an elementary collapse.
We say that two finite CW complexes are \textit{simple homotopy equivalent} if there exists a simple homotopy equivalence between them.
Example. Let $X$ and $Y$ be finite CW complexes and let $f:X\to Y$ be a continuous map. We let $M(f) = (X\times[0,1])\coprod_{X\times\{1\}}Y$ denote the mapping cylinder of $f$. If $f$ is a celluler map, then we can regard $M(f)$ as a finite CW complex (taking the cells of $M(f)$ to be the cells of $Y$ together with cells of the form $e\times\{0\}$ and $e\times(0,1)$, where $e$ is a cell of $X$). The inclusion $Y\hookrightarrow M(f)$ is always a simple homotopy equivalence: in fact, it can be obtained by a finite sequence of elementary expansions which simultaneously add pairs of cells $e\times\{0\}$ and $e\times(0,1)$ (where we add cells in order of increasing dimension).
Note that the map $f$ is homotopic to a composition
$$X\simeq X\times\{0\}\xrightarrow{\iota}M(f)\xrightarrow{r}Y,$$
where $r$ is the canonical retraction from $M(f)$ onto $Y$ (which can be obtained by composing a finite sequence elementary collapses). It follows that $f$ is a simple homotopy equivalence if and only if $\iota$ is a simple homotopy equivalence. Consequently, when we are studying the question of whether or not some map $f$ is a simple homotopy equivalence, there is no real loss of generality in assuming that $f$ is the inclusion of a subcomplex.
Rmk. Celluler approximation theorem says that any continuous map between CW complexes can be homotoped to be a celluler map. In particular, the above example holds for general continuous map $f$.
Simple homotopy equivalence는 homotopy equivalence인 것은 눈으로 쉽게 확인할 수 있다. s-cobordism theorem을 적용하기 위해서, 우리는 그 역이 필요하다.
Question. Let $f:X\to Y$ be a homotopy equivalence between finite CW complexes. Is $f$ a simple homotopy equivalence? If not, how can we tell?
앞서 말했듯이, 이 질문에 대한 대답은 정확히 Whitehead torsion. 이걸 만들기 위해서 먼저 몇몇 정의들이 필요함. 지금까지는 상당히 자명한 것들만 나왔는데 지금부터는 약간 익숙치 않은 것들이 등장하기 시작함.
Definition. Let $R$ be a ring (not necessarily commutative). For each integer $n\geq 0$, we let $\mathrm{GL}_n(R)$ denote the group of automorphisms of $R^n$ as a right $R$-module. Every automorphism $\alpha$ of $R^n$ extends to an automorphism $\alpha\oplus 1_R$ of $R^{n+1}$; this construction yields inclusions
$$\mathrm{GL}_1(R)\hookrightarrow\mathrm{GL}_2(R)\hookrightarrow\mathrm{GL}_3(R)\hookrightarrow\cdots.$$
We let $\mathrm{GL}_\infty(R)$ denote the direct limit of this sequence, and we define $K_1(R)$ to be the abelianization of $\mathrm{GL}_{\infty}(R)$.
Remark. 자 이 construction이 뭔가 natural 하면서도, 한편으로는 좀 어색한데, 만약 $R$이 commutative ring이라면, determinant function
$$\det:\mathrm{GL}_n(R)\to R^\times$$
이 group homomorphism을 줌. 자명히 det은 위의 direct system과 compatible 하기 때문에, direct limit으로 pass가 가능하고, $\det:K_1(R)\to R^\times$ 라는 group homomorphism을 induce함. 만약 $R$이 field 이거나 $\Bbb Z$ 라면, 이 det은 isomorphism이라는 것을 알 수 있음. (하지만 우리의 경우에 $R$은 group ring $\Bbb ZG$라 이 경우는 아님.)
Let $R$ be a ring. A \textit{based chain complex over $R$} is a bounded chain complex of $R$-modules
$$\cdots F_n\xrightarrow{d}F_{n-1}\xrightarrow{d}F_{n-2}\to\cdots,$$
together with a choice of unordered basis for each $F_m$ (so that each $F_m$ is a free $R$-module). In this case, we let $\chi(F_\ast)$ denote the sum $\sum(-1)^mr_m$, where $r_m$ denotes the cardinality of the (chosen) basis of $F_m$. We will refer to $\chi(F_\ast)$ as the \textit{Euler characteristic} of $(F_\ast,d)$.
Remark. If $R$ is a nonzero commutative ring, then the Euler characteristic $\chi(F_\ast)$ is independent of the choice of basis of the modules $F_\ast$. For a general noncommutative ring $R$, this need not be the case.
Let $(F_\ast,d)$ be a based chain complex over $R$ which is \textit{acyclic}, i.e., the homology of $(F_\ast,d)$ vanishes. Since each $F_m$ is a free $R$-module, it then follows that the identity map $1:F_\ast\to F_\ast$ is chain homotopic to zero, i.e., there exists a map $h:F_\ast\to F_{\ast+1}$ satisfying $dh+hd = 1$. We let $F_{\text{even}}:=\bigoplus_n F_{2n}$ and $F_{\text{odd}}:=\bigoplus_{n}F_{2n+1}$.
Lemma. In the above setting, the map $d+h:F_{\text{even}}\to F_{\text{odd}}$ is an isomorphism. $\square$
The specification of a basis for each $F_m$ determines isomorphisms
$$F_{\text{even}}\simeq R^a,\quad F_{\text{odd}}\simeq R^b$$
for some integers $a,b\geq 0$, which are well-defined up to the action of permutation matrices.
Definition. Let $\tilde{K}_1(R)$ denote the quotient of $K_1(R)$ by the subgroup $\langle \pm 1\rangle$. If $(F_\ast,d)$ is an acyclic based complex with $\chi(F_\ast) = 0$, we define the \textit{torsion} of $(F_\ast,d)$ to be the image of $d+h\in\mathrm{GL}_a(R)$ under the map $\mathrm{GL}_a(R)\to\mathrm{GL}_\infty(R)\to\tilde{K}_1(R)$. It can be shown that this definition does not depend on the ordering of the basis elements of $F_\ast$. We will denote the torsion of $(F_\ast,d)$ by $\tau(F_\ast)$.
Lemma. In the above definition, the torsion $\tau(F_\ast)$ is well-defined, i.e., does not depend on the choice of nulhomotopy $h$. $\square$
Definition. Let $f:X_\ast\to Y_\ast$ be a map of chain complexes over a ring $R$. The \textit{mapping cone of $f$} is defined to be the chain complex
$$C(f)_\ast = X_{\ast -1}\oplus Y_\ast$$
with differential $d(x,y) = (-dx,f(x)+dy)$. Note that if $X_\ast$ and $Y_\ast$ are based complexes, then we can regard $C(f)_\ast$ as a based complex (where we fix some convention for how our bases should be ordered).
Suppose that we have $\chi(X_\ast,d) = \chi(Y_\ast,d)$ and that $f$ is a \textit{quasi-isomorphism}, i.e. it induces an isomorphism on homology. Then $\chi(C(f)_\ast,d) = 0$ and $C(f)_\ast$ is acyclic. We define the \textit{torsion of $f$} to be the element $\tau(f) = \tau(C(f)_\ast,d)\in K_1(R)$.
이제 Whitehead torsion을 정의할 것인데, 정의의 동기를 주는 example을 먼저 보기로 함.
Example. Let $(F_\ast,d)$ be an acyclic based complex with $\chi(F_\ast) = 0$, and let $f$ be the identity map from $F_\ast$ to itself. Then the mapping cone $C(f)_\ast$ has an explicit nulhomotopy given by $(x,y)\mapsto(y,0)$. Identify $C(f)_{\text{even}}$ and $C(f)_{\text{odd}}$ with $F_\ast$, so that $d+h$ is given by
$$(x,y)\mapsto (y-dx,x+dy).$$
This map is given by a permutation matrix modulo the filtration by degree, so we have $\tau(f) = 1\in\tilde{K}_1(R)$.
Suppose $X,Y$ are finite CW complexes and that we are given a homotopy equivalence $f:X\to Y$. For simplicity, we assume that $X,Y$ are connected. We fix a base point $x\in X$ and set $G =\pi_1(X,x)\simeq \pi_1(Y,f(x))$. Let $\tilde{Y}$ be a universal cover of $Y$ and let $\tilde{X} = X_{\times_Y}\tilde{Y}$ be the corresponding universal cover of $X$, so that $G$ acts on $\tilde{X}$ and $\tilde{Y}$ by deck transformations. Let us further assume that $f$ is a celluler map. Then $f$ induces a map of cellular chain complexes
$$\lambda:C_\ast(\tilde{X};\Bbb Z)\to C_\ast(\tilde{Y};\Bbb Z).$$
Note that we can regard $C_\ast(\tilde{X},\Bbb Z)$ and $C_\ast(\tilde{Y};\Bbb Z)$ as chain complexes of free $\Bbb Z[G]$-modules, with basis elements in bijection with the cells of $X$ and $Y$ respectively. Since $f$ is a homotopy equivalence, the map $\lambda$ is a quasi-isomorphism. We may therefore consider the torsion $\tau(\lambda)\in\tilde{K}_1(\Bbb Z[G])$. However, it is not well-defined: in order to extract an element of $C_\ast(\tilde{X};\Bbb Z)$ from a cell $e\subset X$, we need to choose a cell of $\tilde{X}$ lying over $e$ (which is ambiguous up to the action of $G$) and an orientation of the cell $e$ (which is ambiguous up to a sign). This motivates the following:
Definition. Let $G$ be a group. The \textit{Whitehead group} $\mathrm{Wh}(G)$ of $G$ is the quotient of $K_1(\Bbb Z[G])$ by elements of the form $[\pm g]$, where $g\in G$.
If $f:X\to Y$ is a celluler homotopy equivalence of connected finite CW complexes, we define the \textit{Whitehead torsion} $\tau(f)\in\mathrm{Wh}(G)$ to be the image in $\mathrm{Wh}(G)$ of the torsion of the induced map
$$\lambda:C_\ast(\tilde{X};\Bbb Z)\to C_\ast(\tilde{Y};\Bbb Z).$$
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
삼육대 0
추합 거의 끝에 되면 긱사 지원도 못하네요.. 배부른 소리긴 하지만 만약 붙으면 어카죠ㅠㅠ
-
어떻게 생각하시나요???
-
입학시험 점수에 따라서 기영, 대영, 고영 이 순서대로 들을 수 있는 건가요?
-
7수라 살았다 ㅋㅋ
-
님들 반톡에 0
치킨이 먹고싶구나 얼버기 이러는게 왜 싫은거임?
-
일단 저 시절에 미국 여행을 간다는 거 자체가 보통 집안은 아니었다는 건데그...
-
아무거나 다 물어보세요!
-
고3때만해도 인강이라곤 Ebs 무료강의와 강사라곤 이지영 정승제 밖에 모르던 제가...
-
수2 15
개같다 그냥
-
과탐 투투조합 7
설의 빼고 다른 메쟈의에선 손해보는 조합인가...?
-
。◕‿◕。 12
뭘 봐 。◕‿◕。
-
물지 2
돌림힘 부력 ㅈ같아서 물투했던 그시절 물투지킴이가 보기에 물1 지@랄 나는 건...
-
부모님이 반대할때 다들 어떻게 설득하셨나요 ??
-
8년 전 오르비에는 ㅠㅠ
-
으흐흐..
-
마우스 말고 뭐로 함? 뉴비임
-
공부하러가즈아 0
가즈아
-
범바오는 스킬을 쓰지 않아요 스블 수1 22강
-
뭐랄까 사회의 악을 처단하는 느낌 검사급으로 멋있는듯
-
하 ㅈㄴ하고싶다. 12
미칠 거 같아 막 그냥 너만 보면 하앍 돌겠네
-
.
-
애케플 애매하네 6
근데 보증 기간이 너무 짧은거아닌가 2년은 좀
-
제가 봤을 때 작년 5모에서 21번이 제일 어려웠음
-
자연스러운 욕구임?
-
전 06이에요
-
아이패드 프로 2
프로 13 모델로 구매를 했는데 애플케어플러스를 사야할지 고민이 됩니다. 전에...
-
하루를 시작하자
-
옵치 ㄱㄱ혓. 7
버스기사 출동한다
-
온라인 커뮤니티서 ‘헌재 폭동’ 모의 정황…경찰, 작성자 추적 중 2
서울서부지법 폭력난동 사태 직전 불법 행위를 사전 모의했다는 의혹이 제기된 온라인...
-
옵치하러가는중 3
뒤쟛다 ㅋㅋ
-
ㅋㅋㅋ
-
미나미노 카제니 놋테 하시루와
-
평소이 버스가 정류장 한참 둬에 섯을때 거까지 뛰어타도 앞에서 타라고 손짓하시는...
-
Ebs수특 영어 필수로 풀거나 하나요???
-
뭔가 비킬러 기조에서 잘만든 느낌이 있었어
-
탈퇴하기가 안보여서요
-
사탐이정배다 2
메디컬에서 대깨설까지 커버가능한 사탐을하자 흐흐흐흐흐
-
삼수 시작할때도 14
대깨 투과목 했음 18수능 수학 5등급이었어도 서울대의 꿈은 못 버림...
-
n제 0
샤인미 설맞이 포카칩 이로운 지인선 설명좀 부탁드립니다
-
버스에서 창가 쪽 자리 비워두고 굳이 복도 쪽부터 앉는 사람들 보면 개때리고...
-
화2생2가 정베다.. 10
표점 백분위 전부 웬만해선 방어 가능
-
ㅎㅇ 1
제곧내
-
물2는 서울대 보는거 아니면 백분위가 너무 박살이라 굳이 안하는걸 추천합니다 만점이...
-
물2화2로 서울대 가는 난이도 << 물1화1으로 서울대 가는 난이도 이게 맞음...
-
소신발언 0
사실 25수능 1-15번까지 중에 한 번 돌 때 유일하게 못 푼 게 10번이었음...
-
점메추받 6
습니다
-
대학교 위치 0
대학교 위치가 금천구 시흥동이면?
-
투:예상보단 컷이 높지만 그럴만한 적절한 난이도 사탐:천국...
-
중대식으로 746.50인데 추합 가능성 있을까요? 몇점 정도에서 끊기는게 정배인가요..?
-
문학 국영수사과국사일어 다 내신이든 수능이든 공부하는 건 재밌는데 수능 문학은 못해먹겠음
세줄요약좀
1. 멋진 대화를 하고 있는 사람들 대화에 끼고 싶다
2. 대화에 끼려면 그 사람들이 무슨 말을 하는지 이해해야 한다
3. 따라서 그들의 대화 중에 나오는 용어들을 먼저 알아볼까 고민중이다