교과서의 개념에서 중요하지 않은 것은 없습니다.
제가 가장 많이 받는 질문은 수능에 필요한 개념만 배우면 안되냐는 질문입니다.
네. 문제를 푸는 것은 가능하겠지요. 그런데 수능을 잘 볼 수는 없습니다.
개념이 어디에 쓰이는 지를 이해하고 적용할 수 있어야합니다.
상위권 학생들의 말을 들어보면 수능문제 풀이는 아이디어와 발상이 필요하다 합니다.
그렇다면 그 발상과 아이디어는 어디서 나올까요?
간단한 교과서의 개념에서 나옵니다.
왜 문제를 이렇게 풀어야하지? 왜 이게 제일 좋은 풀이일까?
이 질문에 교과서는 최대한 쉽고 명확하게 제시해주고 있습니다.
하지만 대부분의 학생들은 인강 교재나 학원 부교재를 보면서 그것이 개념의 끝이라 생각합니다.
그 교재에는 이런저런 잡다한 문제풀이방법, 스킬들이 있을겁니다. 아무것도 모르고 그것을 외우죠.
그러면서 수학은 외우는 과목이라며, 머리가 좋은 애들이 잘하는 과목이라고 생각해버립니다.
그렇지 않다구요.
다음 예제를 풀어봅시다.
이 문제를 풀지 못하는 학생은 거의 없을겁니다.
당연히 시중문제집에서는 이런 문제의 풀이를 적어놓았거든요.
유리화를 해서 극한을 구해라 라고 하지요.
우리는 분모에 유리화를 하는 건 배웠어요. 분모에 무리식이 있으면 계산이 힘들다는 이유로 말이죠.
근데 왜 이 계산을 할 때는 분자에 유리화 해야할까요??
이것을 이해하면서 문제를 풀고 있나요?
교과서에 나와있는 개념중에는 다음과 같은 성질이 있습니다.
혹시 이 개념을 깊이 생각해본 적 있으신가요?
함수값이 존재한다는 것은 수렴한다는 이야기입니다.
즉, 극한의 계산은 수렴할 때만 계산할 수 있다는 얘기입니다.
위의 함수는 수렴하지 않아요. 그래서 극한값을 계산할 수 없습니다.
그렇다면 어떻게 해야할까요? 수렴하는 함수로 모양을 바꾸어주어야 합니다.
근데 이 결과도 수렴하는 함수의 극한이 아닙니다.
12x는 x가 무한대로 가면 발산하구요, 분모도 무한대로 커지면 발산하죠.
그렇다면 어떻게 해야할까요?
유리식의 성질 중 분모와 분자를 0이 아닌 같은 수로 나누어도 성립한다고 합니다.
그렇다면 식에서 같은 수 x로 나누어 줄 수 있겠죠
그래서 다음과 같이 변형됩니다.
x가 무한대로 갈 때 12+32/x는 12로 수렴합니다.
분모에 있는 함수도 x가 무한대로 갈 때 2로 수렴하므로 답은 6이 됩니다.
이제 저런 꼴의 극한에서 유리화를 왜 시켜주어야 하는가에 대한 답으로,
수렴하는 함수의 꼴로 만들어주기 위해서! 라고 하시면 됩니다.
그래야 계산이 되니까요.
극한값의 계산 단원은 공부를 하지 않고 넘어가는 학생들이 많습니다.
문제가 쉽게 출제되기 때문입니다. 최고차항의 계수 비교하고 유리화 외우면 되니까요..
다음 예제를 풀어보세요.
(2006년 6월 평가원 기출문제, 출처는 평가원 기출문제 자료실입니다.)
이 문제를 어떤 식으로 접근해야할까요? 생각해봅시다.
(나)의 극한값이 존재한다고 하였습니다. 즉 수렴한다는 것이죠.
그렇다면 극한값을 계산해서 풀어야하는데, 분모에 X에 0을 대입하면 0이 되어버립니다.
이 법칙중 4번에서 g(x)와 베타가 0이면 계산할 수 없다네요.. 어떻게 해야할까요?
이것을 파악한다면 우리의 목표는 명확합니다.
분모가 0이 되지 않도록 식을 변형해볼 방법이 없을까?
어떻게 변형할 수 있을까요?
분모와 분자에 같은 수를 나누면 식이 성립합니다. 그렇다면 x로 나누어보면 되지 않을까요?
적어도 분모에 k는 남으니까, k는 수렴할거고, 그 나머지가 수렴하는지만 생각해보면 되지 않을까?
해서 x로 나누어보면 정확하게 그 나머지가 x=0일때의 미분계수, 즉 fi'(0)으로 수렴하게 되며
수렴하는 함수에 대한 극한값의 계산에 의해서 극한값을 계산할 수 있게 됩니다.
이 문제는 꽤 쉬운 문제입니다. 한번 풀면 확실하게 이해가 되는 문제죠.
중요한 것은 이 문제에 접근하는 아이디어가 어디에서 나왔냐는 겁니다.
그 아이디어는 너무 간단해서 눈여겨 보지 않았던 극한값의 계산에서 나왔습니다.
교과서의 개념이 간단해도 깊이 생각해보고 따져봐야합니다.
문제 풀이를 위한 개념공부가 아닌 개념을 쌓아가는 데에 초점을 두는 공부를 하셔야합니다.
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양민들이 저렇게 생각하기 위해서는 어떻게 해야 할까요? 모르는문제 나오면 교과서 펼치고 고민하기?
교과서 예제와 유제에서 왜 이렇게 풀어야하는지를 고민하세요.
교과서대신 개념서보는거 어때요?
교과서를 일단 먼저 보세요.
교과서 보고 개념서 만드신건데, 일단 그것에서 고민을 해야 자기것이 되죠
사실 저런것들을 학교에서 짚어줘야만하는거죠.. 어쩌면 이미 짚어줬을지도..
매우많은 학생들이 초기에는 빠르고 쉽게, 점수를 올려줄수있는것에 혈안이 되있다가 시행착오를 거쳐 올바른길로 드는게 아쉬울뿐 ㅠㅠ
빈님 저번 칼럼에 개념은 3등급 이상이면 다 안다고
문제풀이가 중요하다고 하셨던것 같은데..
공격성은 아니고 정말 궁금해서..
어떻게든 빠르고쉽게 푸는 풀이에 혈안이 되어있다고 한게 방금댓글이예요...당장 모의고사끝나고 누가 몇줄풀이! 이러면 와... 이런댓글달리잖아요 ㅋㅋ
그리고 예전글은 뭐든지 학습한걸 점수로 내보일정도되려면 그것들을 문제에 적용해보는 훈런을 많~이 해봐야한단거였고 그게 양치기라했었죠.
단순히 정말 교과서개념말고 어디서 들은 빠른풀이를 공부한다치면, 그런 풀이를 다 습득하기위해 문제를 더더더많이 풀어야합니다. 어떻게보면 매우 비효율적이죠.
그럼 빈님은 재수시절 교과서를 한번 이상 학습하셨나요?
저는 빈님 칼럼을 읽을 때 개념은 따로 안보셨다는 줄 알았는데..?
문제풀고 점검하고 하는게 개념학습의 일부예요.. 절대따로노는게아닙니답. 기출분석하면서 방향잡을때 교과서많이 쓰죠. 그렇게해서 방향잡고 양치기했죠 전. 근데 전 교과사따로안봤어요.
그럼 개념은 어떻게 확인하셨어요??
빈님ㅜㅠ
사법고시 합격자가 1000명이면
사법고시 합격방법도 1000가지임 공부의 왕도는 없음
수능을 대하는 공식같은 공부의 핵심축은 있어도
풀이를 중요시해서 양치기로
대비를 해서 수능 수준 정복도 되고 정말 기초적인 교과서 근본부터 공부해서 글쓴이 처럼
차곡차곡 근본부터 파는것으로도
수능 정복이 된다고 생각
그렇죠.
하지만 학교에서 짚어주나요..
선생들도 저런 개념은 짚어주지 않고, 문제풀이에 너무나도 많이 집중하게 합니다
당장에 문제 푸는데에 집중해야하니까요..
요즘 수리공부할때 교과서보면서 제가 얼마나 개념의 폭이 좁았는지를 깨닫는중..
다만 저는 그걸 인강수업을 들으면서 깨닫고 교과서를 봤네요
교과서가 정말 훌륭한 건 맞지만 문제는 아는만큼만 보인다는거.. 그래서 처음엔 누군가의 지도를 받아가며 교과서를 활용하는 것이 좋다고 생각합니다..개인적으로 ㅋㅋ
저는 그걸 독학으로 하긴 했어요.
고민하고 시행착오 거치면서 하면 혼자서도 분명 할 수 있습니다.
누군가의 지도를 받아가며 하는 것도 좋아요. 적어도 그 지도를 해주시는 분이 이런걸 이해하셔야죠.
가르치시는분이 교과서덕후라..ㅋㅋㅋㅋ
차영진? ㅋ
ㅋㅋㅋㅋ저도 차영진쌤 듣는데 이칼럼보면서 뭔가 익숙한 말들이라고 생각했네요
헐.. 인강을 안듣다보니 이렇게 하시는 쌤이 있는줄도몰랐음ㅋㅋ
저도 보자마자 차영진 샘 생각났네요 ㅋㅋㅋㅋ
저분 ot나 맛보기 한번들어보세요 진짜 교과서 성애자..
저는 제가 하는 강의밖에 모르니까..ㅋㅋ
보통 학교선생님도 개념 잘 안가르쳐주시고 그러는데 대단하시네요..ㄷ
일단 수업이 교과서 학습목표보면서 시작해요. 증명같은거 거의 다 하시는데 그걸 외우라는게 아니라 과정에서 심화개념을 뽑아서 정리해주시는 스타일이예요. 극한에서도 최고차항으로 풀지말고 수렴하는꼴 만들어서 풀어야 어려운문제를 맞출수있다고 알려주세요. 관점이 되게 비슷하신것같아요
학교에서도 저런 건 찝어주지않고 이상하고 괴랄한 문제만 주구장창 주고는 풀라고 하는....ㅠ
오르비는 상위권에 재수생들이 많아서 저런게 와닿지만 현실은 안그래요. 저렇게 지도하려고 하면 지루해하고 귀담아듣지도 않음. 그냥 공식만 외우면 될걸 저리가르치면 흘겨듣기만 할 뿐. 학생들이 저런게 중요하다는걸 잘 알았으면 합니다 ㅎ
하지만 생각해보세요. 내신시험엔 일단 외우고 강조한거만 배워야합니다.
시험끝나고 나면 뭔얘긴지도 몰라요.. 그러면 당연히 정시생들만 이해하는 얘기가 될것입니다. 학생만 잘못한건아니에요
문과 독재생인데 하위권입니다. 저도 우선 교과서로 보면서 학습해야 할까요?
항상 교과서의 모든 문제를 풀 때도 위처럼 접근하면서 공부하란 말씀이신거죠?
그럼 기출이나 다른 문제집을 풀 때에도 마찬가지로 위와 같이 접근하면서 공부해야 하나요?
그리고 인강을 듣기 전 교과서를 먼저 풀어보고 인강을 듣는 것이 더 낫겠죠?
(귀가 얇아서 개념서로 무엇을 살지 굉장히 고민을 많이 하고 있습니다. 개정된 교과서는 갖고 있습니다.
지금 정석을 사서 인강에 대한 복습용으로 쓸지 말지 고민하고 있습니다.)
기본서는 개념원리만 아니면 될듯요... (no)개념원리
저도 그 책 포함 다른 개념서는 거르고 정석을 살지말지 고민이 되네요..
제가 정석문제는 안풀어봐서 모르겠는데 들으시는 인강이 개념을 상세히 풀어주는 수업이라면 정석으로 복습하시고, 심화개념 을 훑어주는 느낌이라면 교과서로 예습후 수업으로 살을 붙이시는게 좋을것같아요. 저는 차영진t수업이 거의 교과서 해제수준이라 따로 교과서 안사고 강의교재복습만 하네요. 아 숨마쿰라우데도 독학하기 괜찮은 책인거 같아요. 다만 교과서에서만 볼수있는 학습목표, 심화소재, 흐름 등은 역시..
답글 감사합니다.
저도 차T 수강생이에요 ㅋㅋ
끝까지 간다님께서는 강의개념 어떻게 복습하시나요?
개념서 없이 교재만 복습하셔도 잘 되시던가요?
저는 어떻게 해야 할지 감이 안잡혀서 정석을 사야할지 말아야할지 너무 고민됩니다.
저는 재수생이라 따로 예습이나 기본서는 보지않고 강의에만 집중하고 있어요. 듣고 복습을 3회독하려고 지금 1회독 끝냈어요. 교재에 있는 문제와 개념을 계속붙이려고.. 2회독부터는 개념부분은 복습안하고 일당백까지 풀려고요. 차쌤수업 듣다보니까 개념없는 문제풀이도 이상하지만 문제풀이 없는 개념공부도 이상하게 느껴져서... 문제푸는양을 조금씩 늘리면서 그 문제에 쓰인개념생각해보고 틀린문제에서 내 빈개념 알아내고 하는 식으로 복습하려고 생각중이예요. 6평까지는 실전칼개념만 씹어먹어서 1등급언저리가 목표고 6평보고난후에 출제경향봐서 추가기출과 사설 들어가려고합니당
아 복습은 어떤분이 알텍5회독복습법 올린거보고 실전칼개념에 조금 맞게 바꾼거예요. 아무래도 실전칼개념이 강의시간이나 문제가 알텍보다 많아서 5회독까지는 힘들고 3회독만 확실하게 하려고요.
허허..저도 문과재수생입니다..
그럼 일단 저도 6월 까지는 칼+실칼 반복해서 제 것으로 만들 수 있도록 공부해보겠습니다.
그리고 말씀해주신대로 문제 풀 때 그 옆에 사용된 개념들 적으면서 한 번 해보겠습니다.
방향 제시해주셔서 정말 감사합니다.
근데 공부 잘하시나봅니다..
저는 딱 75 이상만 받고싶네요
저도 3등급 쭈구린데요ㅠㅠ 그래도 문과는 금방 올라간다니까 목표는 1등급으로 잡는거죠. 실칼이 일당백까지하면 문제수 자체도 많고 안에 심화개념도 많아서 이거가지고 1등급가기 불충분하다 말할수는 없는것같아요. 현강 수업이름도 원점수만점대비반이고요. 그 후는 4점수준 문제풀면서 얼마나 개념과 문제를 연결시키느냐 싸움일것같네요.ㅎㅎ 현역때 4점접근을 못해서 망한거라 쉬운문제공부할때도 왜 이렇게 전개하고 왜 이 개념이 필요한지 필연성을 만들려고 노력하는게 맞는것같아용
정말 친절한 답변 감사합니다.
내일부터 또 열심히 달려야겠군요
개념서로는 교과서 사시고
개념서, 문제집, 기출 이렇게 돌리세요
문제집으로는 숨마쿰라우데나 바이블 좋다고 하긴합니다만..
교과서의 수식이 한글로 어떤 의미인지만 파악하면 돼여..
그럼 문제풀 때 이런 개념이 쓰였구나 라고 문제옆에 메모정도 해두며 풀면 되는건가요?
그건 당연히 떠올라야하는거죠
틀릴때 그 개념이 부족했다면 그렇게 해두면 정말 좋아요
요약해서
예를들면 부분적분!, 삼각함수의 덧셈정리!
삼각함수의 합성!
벡터의 내적! 이런식으로요
공간벡터 내적에서 단면화하는풀이나 14년수능30번 변곡접선그리는거 같은 그런풀이도 교과서에 근거가 있나요? 교과서로근거를 찾아가는 공부 해보려했는데 아무래도 모르겟어서 교과서 보다가 말았거든요..
변곡점은 그 점에서의 접선의 기울기가 극대 혹은 극소가 되는 지점을 말합니다.
단면화는 평면의 결정조건을 생각하면 교과서 내의 근거를 찾을 수 있을겁니다.
변곡접선은 쓰지않는게 더 낫습니다.
캬..단면화논리 역시... 사소해보이는 그 개념으로 하고 있었는데 ㅋㅋ