집합 문제 하나 풀어주세요 ㅠㅠ
ㄴ선지 해설에서요
반례를 A={a}.T={공집합, {a}, X} 라 할 때,
A의 여집합이 {b.c}라서 거짓이라고 되어있는데요
저는 A의 여집합이 ={공집합, X} 라 생각하는데 뭐가 틀린건가요?
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그건 바로 나이스
A의 여집합은 X-A가 맞고 T-A가 아닙니다. 전체집합이 X인 것을 잘 숙지하시면 되겠습니다.
왜 전체집합이 X인 거예요?
전체집합이 왜 T가 아니라 X인지 잘 모르겠어요ㅠㅠ
돋네님 혹시 전체집합이 X인 이유가 집합T는 X의 부분집합을 원소로하고 그게 보면 T={공집합,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 인거고
정리를 해보자면
집합 T 는 집합 X의 부분집합을 원소로 하니까 결국엔 집합 T 의 모든원소는 집합 X 에 속하니까 집합 T 는 집합X의 부분집합이 되어서 결국엔 집합X가 전체집합이 되는건가요?
집합 T의 모든 원소는 집합 X에 속한다는 말은 틀린말같아요
집합 T의 원소는 a가아니라 {a}잖아요
문제보면 집합 A의 원소가 아닌 집합A 자체가 T의 원소니까 집합 A는 공집합 or {a} or {a, b} 등등 집합 T의 원소중 한가지가 되서 결국 집합 A가 X의 부분집합이 되는 것 같습니다
전체집합이 X인지 T인지 생각해보려면 A가 어느 집합의 부분집합인지 생각해보시면 되겠습니다. T의 '원소'이지, 부분집합이 아닙니다. 하지만 X의 부분집합은 맞지요.
엄청헷갈리네요 ㅠㅠㅠ
그래도 덕분에 조금이해가 된거 같아요
감사합니다ㅎㅎ
님 이거 답이 뭔지 알려줄수있나요 ㄷㄷ 어렵네요 저도 전체집합이 X인지 T 인지 햇갈리기 시작하네여 ㅋㅋㅋㅋㅋ
3번입니다ㅎ
제 답변이 친절하지 않아서 혼란을 드린 것 같네요 ^^;
먼저 A가 T의 부분집합이 되는지를 봅시다. 부분집합이라 함은 A의 모든 원소가 T에 있어야 합니다.
A={a}.T={공집합, {a}, X}이라 했을 때, a는 A의 원소입니다. 그런데 a가 T의 원소인가요?
그렇지 않습니다. {a}가 T의 원소가 됩니다. 따라서 A는 T의 부분집합이라 할 수 없습니다.
이번에는 A가 X의 부분집합이 되는지를 봅시다. X={a, b, c}이고 a가 X의 원소입니다.
따라서 A에 있는 모든 원소(사실은 a뿐이지만)가 X에 있으니까 A는 X의 부분집합이 됩니다.
쉽게 말하면 A의 원소를 '어느 집합'의 원소에서 가져왔는지가 중요합니다.
A의 원소 a는 애초에 X에서 가져왔으므로 A의 전체집합은 X로 보는 것이 타당합니다.
물론 T={공집합, {a}, X}를 전체집합이라고 볼 수는 있겠지만 그것은 T의 부분집합 {공집합}이라든가
{{a}, X} 등의 전체집합이라고 할 수 있습니다.
확인사살을 위해 T가 X의 전체집합이라 할 수 있는지 봅시다. X의 모든 원소 a, b, c가 T의 원소에
들어가 있나요? 그렇지 않습니다. T={공집합, {a}, {a, b, c}}이고 {a, b, c}를 통째로 원소로는 가지고
있지만 a만, 혹은 b만, c만을 원소로 가지고 있지는 않습니다. 따라서 X와 T는 부분집합 관계가
성립하지 않고 T를 X의 전체집합이라고 할 수도 없습니다.
ㄱ은 B={공집합, {a}, X}이라 할 때, B의 임의로 두 개씩 원소를 뽑아서 교집합(혹은 합집합)시킬 때마다
B의 원소가 되는지를 확인하면 됩니다.
1. 공집합과 {a}를 뽑았을 때 -> 교집합은 공집합, 합집합은 {a}이고 각각은 B의 원소가 맞습니다.
2. 공집합과 X를 뽑았을 때 -> 교집합은 공집합, 합집합은 X이므로 각각은 B의 원소가 맞습니다.
3. {a}와 X를 뽑았을 때 -> 교집합은 {a}, 합집합은 X입니다. 따라서 모두 B의 원소입니다.
조건 (가) 공집합과 X를 원소로 갖는 것은 당연히 만족시킵니다.
1, 2, 3이 생각할 수 있는 모든 경우이므로 (나)를 만족시키고, (가)도 성립하므로 B는 T가 될 수 있습니다.
ㄷ을 풀기 위해 가장 큰 집합은 '멱집합(power set)'을 생각해봅시다. 즉, P(X)를
P(X)={공집합, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c}}라 하였을 때, 이것이 T의 성질을
만족하는가? 를 보면 되겠습니다. 열심히 노가다를 뛰어보시면 (나)가 성립합을 알 수 있습니다.
X={a, b, c}이고 공집합과 X를 원소로 가집니다. 따라서 (가)도 성립합니다.
즉 P(X)=T가 될 수 있으며, 이것이 우리가 생각할 수 있는 T의 가장 큰 집합형태입니다.
따라서 T의 원소의 최대 개수는 8이 맞습니다.
이것은 위상수학(topology)에서 위상(topology)라는 정의를 따온 것입니다.
정확한 정의와는 살짝 다른 부분이 있지만, X라는 집합이 주어졌을 때
위상(topology) T를 어떻게 만들 수 있을까? 하는 문제를 물어본 것입니다.
참고로 이러한 문제를 제가 부산시교육청 문제에서 고1용인가 고2용에서
봤던 기억이 있긴 합니다.
아무튼 중요하지는 않으니 참고만 하시구요, 질문 있으면 또 댓글 남겨주세요
열공하세요~^^