[박수칠] 귀납적으로 정의된 수열 문제… 수능에 어떻게 나올까?

저도 참 궁금합니다.

교과부 고시와 교과서를 바탕으로 학생들에게

’귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제는 수능에 출제되지 않는다’라고 얘기해왔는데

수능 연계 교재면서 자칭 ‘수능 바이블’인 수능특강에 관련 유형이 수록되어 있어서 혼란스럽네요 ㅡㅡ+

6월 평가원 모의고사를 보면 출제 유형을 확실히 알 수 있겠지만,

그 전에 궁금해할 수험생을 위해 공개된 정보를 바탕으로 글을 써봅니다.

제가 평가원 관계자가 아닌지라 예상이 빗나갈 수도 있습니다.

따라서 이 글의 내용을 ’반드시 이 방향으로 출제된다’라고 받아들이지 마시고,

’이 방향으로 출제될 것이 예상된다’ 정도로 가볍게(?) 생각해 주시기 바랍니다.

물론 이런 문제에 신경쓰고 싶지 않으면 교육과정 구별말고 다~ 공부하는 것이 좋겠죠?

(솔직히 수험생 입장에선 고민할 시간에 한 문제라도 더 푸는게 이득이죠.)

먼저 글을 쓰는데 사용한 자료들은 다음과 같습니다.

(1) 교육과정 관련 자료

  교육과학기술부 고시 제2011-361호 [별책8]  

  ( http://ncic.kice.re.kr/mobile.dwn.ogf.inventoryList.do 에서

    교육과정 원문 및 해설서 - 2009 개정시기 - 고등학교(2012. 12) - 수학과 첨부 파일)

(2) 교육과정평가원 수능 관련 자료

  2017학년도 대학수학능력시험 이렇게 준비하세요 - 수능에 대한 전반적인 소개 자료

  2017학년도 대학수학능력시험 대비 학습 방법 안내 - 영역별 평가 목표 및 학습 방법 자료

  2017학년도 대학수학능력시험 Q&A 자료집 - 수능 운영과 관련한 질문/답변 자료

  ( http://www.suneung.re.kr/sub/info.do?m=0401&s=suneung )

  시행 연도별 대학수학능력시험 교육과정 및 교과서 적용 기준

  ( http://www.suneung.re.kr/boardCnts/view.do?boardID=1500232&boardSeq=3024682&lev=0 )

✮ 위 자료들 가운데 ‘대학수학능력시험 대비 학습 방법 안내’는 수능의 모든 영역에 대한

학습 방법과 예시 문항이 수록되어 있기 때문에 꼭 다운받아서 정독하시기 바랍니다.

(수학의 경우에는 새로 추가된 단원들에 대한 예시 문항도 있습니다.)

그럼 본격적으로 ‘귀납적으로 정의된 수열 문제’에 대해 살펴봅시다.

먼저 (2)의 ’대학수학능력시험 이렇게 준비하세요’ 12페이지를 보면

수능 출제 범위에 대한 언급이 있습니다.

  - 수학 영역의 출제 범위는

    2009 개정 교육과정(교육과학기술부 고시 제2011-361호)에 따른다.

‘시행 연도별 대학수학능력시험 교육과정 및 교과서 적용 기준’에는

교과서도 추가되어 있습니다.

  - 교육과정: 2009 개정(교육과학기술부 고시 제2011-361호)

  - 교과서: 2014, 2015, 2016년판

여기서 알 수 있듯이 수능 출제 범위는 교과부 고시와 교과서가 우선입니다.

2009 개정 교육과정처럼 교과서별 내용 차이가 많은 경우에는 교과부 고시를 우선해야겠죠.

(평가원 홈페이지 Q&A 게시판에서 교과서 내용 차이에 대한 질문의 답변을 보면

‘수능 출제 시 교과서에 따른 응시생의 유불리가 발생하지 않도록 최대한 노력하겠습니다’

라는 답변이 항상 달려 있습니다.)

다음으로 2009 개정 교육과정의 교과부 고시 제2011-361호 61쪽을 보면

‘귀납적으로 정의된 수열 문제’에 대하여 다음과 같은 내용이 실려 있습니다.

  [수학적 귀납법]

    ① 수열의 귀납적 정의를 이해한다.

  [교수∙학습상의 유의점]

    ② 수열과 관련된 실생활 문제를 귀납적으로 표현할 수 있게 하고,

      귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제는 다루지 않는다.

이처럼 교과부 고시에는

귀납적으로 정의된 수열의 일반항 문제를 다루지 않는다고 명시되어 있습니다. 

이에 맞춰 9종 교과서도 본문에서 귀납적으로 정의된 수열의 일반항 문제(등차수열, 등비수열 제외)를

다루지 않고 있습니다.

(그런데 수능특강에는 왜? ㅡㅡ;)

마지막으로 가장 최근 (올해 4월) 자료인 ‘대학수학능력시험 대비 학습 방법 안내’를 살펴보겠습니다.

여기에 포함된 예시 문항을 보면 ‘귀납적으로 정의된 수열 문제’가 어떻게 출제될지 짐작할 수 있습니다.

아래는 42쪽에 있는 예시 문항입니다.

보시다시피 귀납적으로 정의된 수열 { an } 의 일반항을 구하는 문제가 아니라

귀납적으로 정의된 수열 { an } 의 일반항이 옳음을 수학적 귀납법으로 증명하는 문제입니다.

수학적 귀납법의 증명 방법/원리를 알고 있으면 쉽게 풀 수 있죠.

그런데 여기서 어이없는 점이…

이 예시 문항에 다음과 같은 부연 설명이 있습니다.

  - 이 문항은 수열의 귀납적 정의를 이해하고 추론을 통하여 일반항을 구할 수 있는지를 평가하는

    문항으로, 이 문항을 해결하기 위하여 학생은 귀납적으로 정의된 수열의 일반항, 증명 과정 등을

    이해하고 있어야 한다. 또한 이와 같은 유형의 문제를 해결하기 위해서 학생들은 수학에서 활용되는

    다양한 증명 방법을 이해하고 이를 활용하여 수학적 명제를 증명할 수 있어야 한다.

‘어라? 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제가 아닌데 왜 이런 설명이?’

혹시나 싶어서 2016학년도 수능 자료를 찾아봤더니 45쪽에 다음과 같은 문제가 있습니다.

2016학년도 수능 자료에서는 같은 위치에 2007 개정 교육과정에 속하는

귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 빈 칸 추론 문제가 있네요.

2017학년도 수능 자료로 넘어오면서 2009 개정 교육과정에 부합하도록

수학적 귀납법 문제로 바뀌었다고 유추할 수 있습니다.

그런데…

2016학년도 자료와 2017학년도 자료의 예시 문항 부연 설명이 똑같습니다 ㅡㅡ;

혹시 문제만 바꾸고 부연 설명을 고치지 않는 실수를?

다시 2017학년도 수능 자료로 돌아와서 43쪽에 있는 예시 문항을 봅시다.

(이 문제는 2016학년도 수능 자료에도 있습니다.)

이 문제에서는 두 수열 {xn}, {yn}이 귀납적으로 정의되어 있으며,

(나)의 점화식에 n = 1, 2, 3, … 을 차례로 대입해서 xn, yn 값의 규칙을 파악해서 풀 수 있습니다.

따라서 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제라기 보다

수열의 귀납적 정의의 원리를 이해하고 있는지 알아보는 문제라 할 수 있습니다.

이 문제에 딸린 부연 설명 또한 같은 맥락이라 할 수 있구요.

  -  이 문항은 점화식으로 주어진 수열을 이해할 수 있는지를 평가하는 문항으로, 이 문항을 해결하기

    위하여 학생은 주어진 점화식을 해석하고 규칙성을 찾아 수열을 표현할 수 있어야 한다. 또한 이와

    같은 유형의 문제를 해결하기 위해서 학생들은 주어진 조건에 따라 수열을 나열하거나 세어봄으로써

    규칙성을 찾고, 그 규칙성을 이용하여 수열의 각 항의 값을 예측할 수 있어야 한다.

이제 출제 방향에 대해 감이 오나요?

수능이나 모평이 아닌, 수험생 배포용 자료만으로 판단하는 것은 다소 무리가 있지만

평가원에서 수열의 귀납적 정의와 관련된 교육과정의 변화를 자료에 반영하고 있음을 알 수 있습니다.

(교육과정 만들고, 수능 출제하는 기관에서 만든 자료니 당연!)

즉, 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 유형이 삭제되고,

수열의 귀납적 정의의 원리를 묻는 유형을 남겨두는 쪽으로 말이죠…

확인을 위해 평가원 게시판에 수열의 귀납적 정의와 관련된 유형의 출제 방향과

수능특강에 실린 문제 가운데 교육과정에 맞지 않는 것들에 대해 질문하려고 했는데

다른 분이 먼저 하셨더라구요.

관련 부분의 질문과 답변은 다음과 같습니다.

  Q: 평가원이 감수한 수능 연계 교재인 EBS수능특강 수학2&미적분1 p76 4번 문항을 보면 

     발문이 '귀납적으로 정의된 수열의 일반항 a_n을 구한다'고 되어 있고 

     그 내용은 '사실상 귀납적으로 정의된 수열의 일반항 S_n을 구한다'입니다. 

     이러한 문항이 교육과정에 부합하는 것이 맞습니까? 

     아마도 평가원의 답변은 EBS에 떠넘길 것으로 예상되나 

     엄연히 수능에 70%를 연계하고 '평가원 감수' 타이틀을 달고 있다는 점에서

     평가원도 책임감있게 소명해야 할 것입니다. 

     귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문항이 수능에 출제 가능한지 여쭤봅니다.

  A: 대학수학능력시험은 학교 교육 정상화에 기여하며,

     공정성과 객관성이 높은 대입 전형자료를 제공하는 데에 목적이 있습니다.

     그리고 교육과정의 해석과 이에 따른 교과서별 학습 내용 설명 수준의 차이는

     교과서의 집필 방향으로서 존중되어야 한다고 판단됩니다.

     따라서 특정 내용이나 특정 유형에 대한 문항의 출제 여부와 대학수학능력시험 출제와 관련시켜

     교과서별 학습 내용을 직접적으로 논하는 것은 무리가 있다고 판단됩니다. 

     한국교육과정평가원에서는 대학수학능력시험이

     안정적으로 출제, 시행될 수 있도록 2차례(6월, 9월)에 걸친 모의평가를 통해

     수험생들에게 새로운 시험체제 및 문제 유형에 대해 적응할 수 있는 기회를 제공하고 있습니다.

     수능 출제 시 교과서에 따른 응시생의 유불리가 발생하지 않도록 최대한 노력하겠습니다. 

  ( 원문: http://www.suneung.re.kr/boardCnts/view.do?boardID=1500232&boardSeq=5005458&lev=0 )

예상했던 대로 평가원에서는 원칙적이면서도 매크로 같은 답변만 해주고 있습니다.

수능특강은 언급도 안해주네요 ㅡㅡ;

EBS쪽에는 이 문제와 관련해서 공개된 질문/응답이 없기 때문에

교재 정정 신청을 통해 따로 질문을 넣었습니다.

예전 경험으로 볼 때 답변을 받기까지 시간이 꽤 걸릴거라 생각되구요.

(그래도 6평 전엔 답해주겠죠.)

답변을 받게 되면 본문에 내용을 추가하도록 하겠습니다.

여기까지 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.

6월 모평 대비 착실히 하시고, 좋은 결과 얻으시길 바랍니다!