이차함수 공통접선 뒷북과 확장
오랜만에 오르비 들어와서 눈팅이나 좀 하다가
수학 질문글을 발견했습니다.
질문은 아래와 같습니다.
(원본링크는 댓글에 있어요.)
아래 그림과 같이 교점이 없고 최고차 부호 다른 두 이차함수에 대해 반드시 두 개의 공통접선이 존재하냐는 겁니다.
여러분은 어떻게 생각하시나요?
다른 좋은 방법도 많겠다만...
질문을 보자마자 제가 떠올린 건 차이함수입니다.
저 그림은 사실,
이거랑 똑같은 그림이에요.
"이거"가 뭐냐면 축이 일치되어 있고 부호는 다른 이차함수입니다.
이 경우에는 당연히 접선 두 개 날릴 수 있겠죠.
그림이 선대칭이므로 한쪽에 그을 수 있다면
그 반대편에도 똑같이 그을 수 있으니까요.
두 접선은 기울기의 절댓값도 같을 겁니다.
그럼 요지는 이겁니다.
왜 질문자의 그림이 위 그림으로 바뀔 수 있는 것일까요?
어... 답은 되게 간단한데요,
그냥 그림의 모든 함수에다가 적절한 일차함수를 빼줘서
축을 움직여가지고 반드시 일치시킬 수 있기 때문입니다.
근데 그림의 모든 함수에 적절한 일차함수를 뺀다는 게 도대체 무슨 말일까요?
아래 평가원 기출 문제를 보겠습니다.
일단 문제상황을 그려보면 다음과 같습니다.
근데 여기 보이는 모든 함수에다가 y=ax를 뺄거에요.
이때 중요한 점은, 교점의 x좌표들이 모두 유지된다는 것입니다.
왜일까요?
방정식의 관점에서 보면 그 답을 쉽게 찾을 수 있습니다.
방정식 f(x)=ax+b의 해를 구하나,
방정식 f(x)-ax= b의 해를 구하나
당연히 똑같은 해가 나올 겁니다.
두 접선이 만나는 점의 x좌표, 즉 k는 왜 유지되는지도 볼까요?
왼쪽 빨간색 접선 식을 mx+n, 오른쪽 접선 식을 px+q라 할게요.
그러면...
위를 계산하나 아래를 계산하나 해는 똑같겠죠.
그래서 전체 그림에 동일한 함수를 빼도 x좌표는 유지가 되는 겁니다.
그래서 한 번 빼볼게요.
그럼 이렇게 나올 겁니다.
사차함수가 선대칭이므로 k는 아무 계산 없이 1/2이라는 걸 알 수 있어요.
전체 그림에 함수를 "빼는" 것만 가능한가요?
아니요!
전체 그림에 함수를 나눌 수도 있습니다.
이미 여러분들이 아주 많이 쓰고 있는 스킬이에요.
궁금한 분들은 아래 링크를 타고 들어가시면 됩니다.
아 가기 전에 좋아요는 누르고 가주세요!!!
도움이 됐다면요.
#무민
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
사실 띄엄띄엄 아침에 러닝뛰었는데 수능날 안뛸거면 지금부턴 걍 하지말까요?
-
진짜 상상할수 있는 최고의 시나리오로 이겼네 이걸 실시간으로 못봐? 하 ㅆㅂ
-
화작 75분 87점 16,21,27,30,38틀 독서론 5분-ㅇㄴ 나만 이거...
-
존밤되세요
-
슈퍼아이돌이면서 현역 정시로 인서울 대학 간 지헌 누나와 5시간 동안 스터디윗미
-
하아 도파민 과다분비 돼서 잠 못자고 여기까지 와버림
-
아니 어떻게 “다음주” 목요일이 수능이야
-
역대급 캐리판 ㄹㅇ
-
페이커 저 새끼 45세트에 한 것보다 더하라고? 오히려 슌 엘크가 45세트 뒤지게...
-
오늘 실모 보실거임?
-
월즈오면 LCK팀 응원할수밖에없음 ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
근데님들 만약애 21월즈때 티원이 담원꺾고 올라갔으면 3
그때 EDG이겼을거같음?
-
4세트 엘크가 성장잘한거 집어던져서 5세트까지 간거고 5세트 빈 느낌없고 온 똥구멍...
-
공통 다 맞을 수 있겠다는 근자감이 드네 ㅋㅋㅋ 제발 25수능수학 공통1틀 미적...
-
ㅅㅅㅅ
-
7번이 진짜 딱 좋을듯
-
닉변완. 3
-
쓰리핏 탐나네 ㅋㅋ
-
ㅈㄴ 무서운데?
-
스킨 후보 10
ㅇㅇ
-
린킨파크 한번만 봐준다 ㅋㅋㅋ
-
아진짜못참겠네 4
헤으응
-
월즈 스킨 예측 6
우스우스: 그라가스 오 너는 최고야: 신짜오 신: 갈리오 or 아리 or 사일러스...
-
나만 그런거 아니지? 걍 지금 씻고 독서실이나 갈까..
-
수능은 티원처럼 7
수능날에 최고점 찍자고
-
캬
-
어 상혁이형이야 0
.
-
건국대 1
건국대 자전 추합 몇번까지 빠질 것 같나요??
-
뭐해? 1
올려
-
실모 풀었는데 둘다 3n점대 나와요...ㅎ ㅠㅠㅠ 수능때 2등급이라도 받고싶은데 걍...
-
아예 버려도 괜찮나요 ?? 이거 버리면 남은 문제는 다 맞아야 하는데 요즘 세포분열...
-
지들 졌다고 시위하는건가 추하네 좀 ㅋㅋㅋ
-
초딩 때부터 게임대회 관심 생겨서 응원했는데 16년 우승보다 지금이 더 기분 좋음...
-
4시드 미드 십캐리 결승 패승패승승
-
23년 3세트 징동한테 무난히 끌려가다가 질뻔한거 토스로 세계선 바꾸고 24년...
-
럭스한적있음??
-
아 개귀엽네ㅋㅋㅋ
-
1사람당 10만덕 댓글 ㄱㄱ혓!
-
대가리 깨러간다 뭐? 국제전 7년 무관? 뭐? 물로켓? 응 월즈리핏 ㅋㅋ
-
초중반 운영은 blg가 훨씬 잘한 것 같은데
-
아 몰라 대상혁 5회 우승 라이브로 봤잖아 한잔해 ㅋㅋㅋ
-
역2롤 t1 faker
-
이래도 까?
-
둘 덕분에 이겼다 ㄹㅇ
-
ㅅㅅㅅㅅㅅ
-
UP
질문자 원본 글입니다.
https://orbi.kr/00068687892
정시의벽이 쏘아올린 공
ㄷㄷ닉언
캬ㅑㅑㅑ무민 님ㄷㄷㄷ