근의 분리 상위호환
과외준비를 하다가 이번 6모 15번과 작년 9모 13에가 어떤 관점이 동일하게 쓰인다는 것을 알았는데요,
특히 9모 13번을 이렇게 푸는 것은 처음 봤다고 하네요.
앞으로 근의분리는 쓰지 마세요. 오늘 알려드리는 이 방식이 근의 분리를 거의 완전히 대체할 수 있습니다
(글 맨 마지막에 조건 달아뒀습니다.)
사실 저는 그렇게 특이한 접근인지는 모르겠습니다. 수학(상)을 열심히 공부했다면 이게 가장 자연스러운 접근이죠. 아무튼 과외생을 보며 이걸 여러분께도 소개해드리면 나름 의미가 있겠다고 판단되어 글로 쓰게 되었습니다.
일단 이번 6모(2025학년도)입니다. 문제를 다 풀진 않을거고, 맨 마지막 부분만 볼게요. (나) 조건을 통해 k=2인 것까지 구한 상황입니다.
k=2니까 g(x)가 미분가능하려면 f(2)=2, f'(2)=2여야 합니다. 최고차항 계수가 1인것도 아니까, 문자 하나만 가지고 식을 세울 수 있습니다.
이렇게 말이죠.
(가) 조건에 의하면, 얘가 x가 2보다 큰 곳에서 항상 증가해야 합니다. 그럼 당연히 도함수 관찰을 해야겠죠.
아, 센스 있게 2만큼 왼쪽으로 평행이동해서 봐도 되는데(저도 풀 때 그렇게 했구요) 헷갈리는 독자도 있을 수 있기에 여기선 그대로 갈게요. 괜히 과정 추가하지 않겠습니다.
아무튼 미분해보겠습니다.
냅다 판별식 쓰면 안 된다는 것은 알고 계실겁니다.
함수가 x축과 두 번 만나지만 x가 2보다 클 때는 x축보다 위에 있을수도 있으니까요.
난 그냥 그렇게 해서 맞았는데? 하시는 분들은 운이 좋으신 겁니다. 이 문제에선 결국 그게 답이긴 하더라구요 ㅋㅋ
여기서 a 범위를 나눠서 푸는 분들도 있습니다.
그건 올바른 풀이지만, 완전히 상위호환인 다른 풀이가 있어요. 그걸 지금 알려드리겠습니다.
일단 부등식에서 모르는 문자가 있는 부분을 넘겨버립니다. 그 뒤에 기하적인 의미를 부여할겁니다.
왼쪽은 완벽하게 그릴 수 있는 이차함수고, 오른쪽은 (2,0)을 지나면서 a에 따라 기울기가 달라지는 직선이죠.
이때 “직선이 항상 이차함수보다 아래에 있어야 한다” 라고 해석해주시면 됩니다.
그럼 기울기가 점점 가파라지다가 딱 접하는 순간까지 가능하겠죠? 그때보다 기울기가 더 커지면 직선이 더 위에 있는 순간이 생깁니다.
반면 기울기가 음수라면 음의 무한대까지 계속 가능할 겁니다.
x가 2보다 큰 곳에서는 여전히 아래에 있기 때문이죠.
그럼 접하는 순간 계산해볼게요.
a는 플마 루트 6인데, 둘 중에서 우리가 원하는 순간은 -루트 6일겁니다. 그래야 빨간 직선의 기울기가 양수가 되기 때문이죠.
a의 범위는 -루트6보다 크다가 되겠네요.
2024년 9평 13번에도 이걸 적용해볼게요.
저도 이렇게 빨리 풀릴 줄 몰랐는데, 아주 빨리 풀 수 있습니다.
얘도 당연히 도함수를 관찰해야겠죠.
연두색 영역에 도함수가 그려져야 합니다. 파란색 함수처럼요.
반드시 (-1,0)을 지나야 하겠네요.
왼쪽 함수에 대입해봅니다.
b=2a-1이 나오겠네요.
도함수의 오른쪽부터 관찰해보겠습니다. 아까 했던 거 똑같이 할게요.
a범위 구했습니다.
왼쪽에서 새로 추가되는 조건은 없습니다. 이미 이 조건만으로도 왼쪽 구간 함수는
y절편이 양수고
(-1,0)을 지나므로
아까 말한 연두 구간에 그려집니다.
우리가 구해야 하는건 a+b의 최대최소 즉, 3a-1 의 최대최소값입니다. a 범위를 아니까 다 구한 셈이네요.
네 여기까지입니다.
부등식으로 인식한 뒤에 약간의 변형을 가해주어서 기하적으로 관찰하는 방법을 알려드렸습니다.
문자범위 나눠서 하는 것보다 훨씬 빠르고 실수 확률이 적은 풀이라 생각합니다.
한 마디 덧붙이자면, a로 묶인 부분이 기하적으로 깔끔하게 해석이 가능할 때 이 방식을 쓸 수 있습니다.
그럼 언제 깔끔한 해석이 불가할까요?
a의 계수가 이차도 있고.. 일차도 있고 이런 식으로 여러 개가 있다면 기하적 의미를 부여하기 힘들 겁니다.
즉 문자 계수가 하나로 한정된 상황에서는
이 방식이 근의 분리를 완전히 대체한다고 말할 수 있겠네요.
다음에 또 좋은 글로 찾아뵙겠습니다. 감사합니다.
0 XDK (+1,010)
-
1,000
-
10
-
동갑친구들 꽤 있는 것 같은데 흠..
-
교육부 킬러빔 맞고 요즘 안나오던데 합성함수 극대극소 킬러는 ㅅㅂ 못풀것다 걍
-
매체 풀때 질문 3
단톡방 같은 문제 나올때 톡질한거 다 읽고 푸심? 아님 선지에 예를 들어 ”민수가...
-
9모 등급컷 1
언매 1컷88 화작 2등급블랭크후 3컷100 확통 2컷100 기하 1컥96 미적...
-
근데 내가 칭찬받을 일을 안 한 거 같애 칭찬받고 싶으니까 칭찬받을 일을 하고 살아볼까
-
ㅁ병아리 안키워요 색색거리는 소리 어카냐... 코 둘 다 뻥 뚫려있는데 대체....
-
원래 좋은직업을 얻기위해 공부하는거 아님?
-
시발점 끝나서 마플시너지랑 올림포스 고난도 고민중인데 올포고 스텝1만으로도...
-
깜빡 잠들었다 1
점심은 그냥 스팸 먹어야지
-
어지간한 사설들 0
65분 내외로 푸는 템포는 돌아왔는데 이제 등급은 1->2로 떨어진...
-
수학이나 해야겠다
-
44가 뜨네 ㅅㅂ.. 태어나서 첨 받아봄
-
반박시김건희
-
군복무 3개월 줄여줬잖아 군인월급 3배 줬잖아 일과후 정비시간 보장해줬잖아 씨발 다...
-
질받 3
ㅈㄱㄴ 갑자기 하고 싶어졌달까..
-
생활패턴개박살나있음
-
화2 2등급 4
지금부터 시작해서 개념 끝내고 자이스토리 풀면 가능?
-
9평 이후에 하나요?
-
넘사 뱃지들 많이 봐서 그런가 진학사 돌리니 내 작년 성적으로는 꿈도 못 꿀 곳도...
-
언매 95 확통 80 정법 47 사문 47 설정외나 설인문 가능할라나
-
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
언매 공부만 죽어라 한게 다 돌려받는구나.. 시간 save goat
-
진짜 죽을맛임 ㅅㅂ 콘서타만의 문제가 아닌거같은데
-
4000부 판매돌파 지구과학 핵심모음자료를 소개합니다. (현재 오르비전자책 1위)...
-
진위 가리고 싶어 물어봄 근데 그 정도로 저출산 개심함?? 저번에 교대 육칠등급...
-
국어 상상 이감 비문학 30-35m 사이에 끊으면 괜찮은건가요? (독서론 포함)
-
그 사람 물화생지 다 잘하잖아
-
저녁메뉴 추천 받습니다
-
유비빔이 1
유빈이 아빠임?
-
6모 수학 백분위 97 9모 백분위 98인데 서바나 서바 리부트 시간 재고풀면...
-
뭐 예를들면 평가원 모고 친 날에 풀어준다거나.. 광복절 특사처럼 말이죠
-
특전에 출제진으로 데려간다고 적혀있든데 우수상은 안끼워주려나.. 출제진되면 인증글올릴게여!!
-
이기론 0
작년 올해 다 연계라서 내용이 매우 익숙하다
-
수학만일거라 생각했죠? ㅎㅎ 수학도 받았고 화학도 받았습니다. 백승우는 저고 김한솔...
-
아 하고싶다 8
상상은 자유
-
모두에게 한번의 추가 기회 주기
-
불물 > 불 기조를 유지하던 평가원의 기존 관습에도 불구, 꽤 평이하게...
-
이제 재르비 기간만 6개월로
-
수학5등급이 말하는내용이니 반드시 숙지하세요
-
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
이제 다섯개마다 공백기호 끼워넣는 귀찮은 짓 안해도 되는군...
-
수특독서 0
과기지문들 보면 물리나 화학하는 사람들이 매우 유리해서 절대 안나올거 같은 소재들...
-
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
점메추 2
부탁해요!
-
팔로워 한 명 사라짐 ㅠ
-
제가 어그로끄니까 조롱하라고 제한없앤거같아요
-
현장응시할건데 등급컷도 알려주나요?
개추 눌렀다....
캬
일단 읽어보고 걔추
앞으로도 좋은 글 써볼게요 ㅎㅎ
ㄷㄷㄷ
갑종님이랑 생각이 거의 일치하는...
왜냐면 둘이 친구거등
저도 작년 9평 13번을 이렇게 푸는게 맞다고 생각했어서 근의 분리니 뭐니 말 많을때 잘 이해가 안되긴 했었어요
김현우 선생님이랑 완전히 똑같이 푸셨네요.. 칼럼 잘보고 갑니다!
15번 이거풀때 산술기하로 풀었는데 최솟값이라 풀린거겠죠
6평 말하시는거죠?
산술기하도 괜찮네요. 왜냐면 여러가지 조건이 딱 맞아 떨어져서 여기에 산술기하를 쓸 수 있습니다.
일단 x가 2보다 큰 부분을 봐야 하는데, 그게 x-2>0이어야 하는 산술기하 조건이랑 맞아떨어졌구요,
부등식에서 오른쪽 부분이 상수이기 때문에 최솟값만 보면 됩니다.
물론 좀 더 근본적으로는, 산술기하는 완전제곱식에서 나온 공식이기에 똑같다고 볼 수도 있지만
아무튼 아주 맘에드는 관점이네요!!
넹 6모 15번 x-2>0보다 큰상태여서 이거로 산술기하썼는데
해설강의같은거 보니까 다들 다르게풀어가지고 결국 똑같은이야기였네요
대범준 그래프 분리
첫 문제에서 a=±루트6 구하셨을 때 D/4 공식을 쓰셔는데, 미지수를 (x-2)로 해서 b'²-ac 로 바로 구하신건가요?
아! 근데 그렇게 해도 되는건가요? 제가 고1수학을 날림으로 배워서..
넵, 이해를 도울 수 있는 두 가지 관점을 소개해드리겠습니다
1. 평행이동.
x축과 만나지 않는 이차함수를 좌우로 평행이동해도 여전히 x축과 만나지 않는다. 따라서 해당 이차함수를 2만큼 왼쪽으로 이동시킨다면 3x제곱 +2ax+2이고, 여기에 판별식을 쓰면 된다.
2. 치환
x-2를 t라는 새로운 문자로 잡는다.
사실 1과 본질적으로 같다.
감사합니다!! 저는 x가 변수인 상황에서 판별식을 쓰는데, 2만큼 평행이동을 해도 똑같이 성립이 되는지 궁금했었는데 이해가 되네요! 정말 감사합니다 ㅎㅎ 덕분에 수준높은 풀이법 하나 배워갑니다 . 감사합니다!!
저도 굳이 근의 분리까지 안끌고가고 싶어서
저는 그냥 잘 모르겠으면 화끈하게 근의공식 때리고, 두 근이 모두 k보다 작아야한다면
D >=0인 경우, 그냥 더 큰 근이 k보다 작다! 라고 하게끔 가르쳤는데
기하학적인 풀이도 너무 좋은 듯 합니다 ㅎ
잘 보고 갑니다!
관찰중인 문자의 차수가 여러개가 아닌 이상 (예를 들면 식에 a도 있고 a제곱도 있는 경우), 위 기하적인 풀이가 근의 분리를 완전히 대체합니다
.
의견 공유 감사해요 ㅎㅎ
고정된 요소가 필요하다는 말씀 맞으실까요? 좋은 댓글 감사합니다 ㅎㅎ
오 이거 좋네요. 시간 단축 꿀일 듯.
+ 이번 6평 14번 부등식도, 부등식 여러개로 케이스 분류해서 끼워 맞추지 않고, 일차함수랑 이차함수 만나는 걸로 구할 수 있음!
정말감사합니다
오늘도 배워갑니다 감사합니다
많은 상황에서 상위 호환은 맞지만 계수의 꼴에 따라선 대체가 안 되는 경우도 있습니다!
(고정점 지나는 직선으로 해석이 안 되는 경우도 있음)
저도 위에 댓글에 달아놨는데, 그 경우에는 기하적 의미를 깔끔하게 부여할 수 없습니다
본문에도 추가해야겠네요
질질 쌌다.
미분을 활용하여 직선의 회전 이동을 관찰한다, 감사히 잘 읽었습니다!
좋은 글 감사합니다
선생님 진짜 미틴넘이시네요 미친초고수다