근의 분리 상위호환
과외준비를 하다가 이번 6모 15번과 작년 9모 13에가 어떤 관점이 동일하게 쓰인다는 것을 알았는데요,
특히 9모 13번을 이렇게 푸는 것은 처음 봤다고 하네요.
앞으로 근의분리는 쓰지 마세요. 오늘 알려드리는 이 방식이 근의 분리를 거의 완전히 대체할 수 있습니다
(글 맨 마지막에 조건 달아뒀습니다.)
사실 저는 그렇게 특이한 접근인지는 모르겠습니다. 수학(상)을 열심히 공부했다면 이게 가장 자연스러운 접근이죠. 아무튼 과외생을 보며 이걸 여러분께도 소개해드리면 나름 의미가 있겠다고 판단되어 글로 쓰게 되었습니다.
일단 이번 6모(2025학년도)입니다. 문제를 다 풀진 않을거고, 맨 마지막 부분만 볼게요. (나) 조건을 통해 k=2인 것까지 구한 상황입니다.
k=2니까 g(x)가 미분가능하려면 f(2)=2, f'(2)=2여야 합니다. 최고차항 계수가 1인것도 아니까, 문자 하나만 가지고 식을 세울 수 있습니다.
이렇게 말이죠.
(가) 조건에 의하면, 얘가 x가 2보다 큰 곳에서 항상 증가해야 합니다. 그럼 당연히 도함수 관찰을 해야겠죠.
아, 센스 있게 2만큼 왼쪽으로 평행이동해서 봐도 되는데(저도 풀 때 그렇게 했구요) 헷갈리는 독자도 있을 수 있기에 여기선 그대로 갈게요. 괜히 과정 추가하지 않겠습니다.
아무튼 미분해보겠습니다.
냅다 판별식 쓰면 안 된다는 것은 알고 계실겁니다.
함수가 x축과 두 번 만나지만 x가 2보다 클 때는 x축보다 위에 있을수도 있으니까요.
난 그냥 그렇게 해서 맞았는데? 하시는 분들은 운이 좋으신 겁니다. 이 문제에선 결국 그게 답이긴 하더라구요 ㅋㅋ
여기서 a 범위를 나눠서 푸는 분들도 있습니다.
그건 올바른 풀이지만, 완전히 상위호환인 다른 풀이가 있어요. 그걸 지금 알려드리겠습니다.
일단 부등식에서 모르는 문자가 있는 부분을 넘겨버립니다. 그 뒤에 기하적인 의미를 부여할겁니다.
왼쪽은 완벽하게 그릴 수 있는 이차함수고, 오른쪽은 (2,0)을 지나면서 a에 따라 기울기가 달라지는 직선이죠.
이때 “직선이 항상 이차함수보다 아래에 있어야 한다” 라고 해석해주시면 됩니다.
그럼 기울기가 점점 가파라지다가 딱 접하는 순간까지 가능하겠죠? 그때보다 기울기가 더 커지면 직선이 더 위에 있는 순간이 생깁니다.
반면 기울기가 음수라면 음의 무한대까지 계속 가능할 겁니다.
x가 2보다 큰 곳에서는 여전히 아래에 있기 때문이죠.
그럼 접하는 순간 계산해볼게요.
a는 플마 루트 6인데, 둘 중에서 우리가 원하는 순간은 -루트 6일겁니다. 그래야 빨간 직선의 기울기가 양수가 되기 때문이죠.
a의 범위는 -루트6보다 크다가 되겠네요.
2024년 9평 13번에도 이걸 적용해볼게요.
저도 이렇게 빨리 풀릴 줄 몰랐는데, 아주 빨리 풀 수 있습니다.
얘도 당연히 도함수를 관찰해야겠죠.
연두색 영역에 도함수가 그려져야 합니다. 파란색 함수처럼요.
반드시 (-1,0)을 지나야 하겠네요.
왼쪽 함수에 대입해봅니다.
b=2a-1이 나오겠네요.
도함수의 오른쪽부터 관찰해보겠습니다. 아까 했던 거 똑같이 할게요.
a범위 구했습니다.
왼쪽에서 새로 추가되는 조건은 없습니다. 이미 이 조건만으로도 왼쪽 구간 함수는
y절편이 양수고
(-1,0)을 지나므로
아까 말한 연두 구간에 그려집니다.
우리가 구해야 하는건 a+b의 최대최소 즉, 3a-1 의 최대최소값입니다. a 범위를 아니까 다 구한 셈이네요.
네 여기까지입니다.
부등식으로 인식한 뒤에 약간의 변형을 가해주어서 기하적으로 관찰하는 방법을 알려드렸습니다.
문자범위 나눠서 하는 것보다 훨씬 빠르고 실수 확률이 적은 풀이라 생각합니다.
한 마디 덧붙이자면, a로 묶인 부분이 기하적으로 깔끔하게 해석이 가능할 때 이 방식을 쓸 수 있습니다.
그럼 언제 깔끔한 해석이 불가할까요?
a의 계수가 이차도 있고.. 일차도 있고 이런 식으로 여러 개가 있다면 기하적 의미를 부여하기 힘들 겁니다.
즉 문자 계수가 하나로 한정된 상황에서는
이 방식이 근의 분리를 완전히 대체한다고 말할 수 있겠네요.
다음에 또 좋은 글로 찾아뵙겠습니다. 감사합니다.
0 XDK (+1,010)
-
1,000
-
10
-
오래된 생각이다
-
큰일이에요! 대가리를 세게 내리치지 않아서 오늘이 수능이 되어버렸어요! 수능 국어...
-
저 0.2'' 거가 거리 10pc 의미하는 거 맞죠?
-
아 개졸려 3
-
면역의 메커니즘 이 지문 ㅅㅂ 어케 풂? 말이 안되는데 7분은.....
-
G : "G는 증명불가능" G에따라 1. G가 거짓G는 증명가능 1이 모순이라서...
-
짧은 칼럼 글에는 반응 없고 똥글에만 반응해줌 옯붕이들 8
똥먹기!! 똥발싸!!! 이러는 글 보고 팔로우함 이 미친 오뿌이들
-
9모 92인 통통이입니다
-
시발점 수강하는 단계임,수학 공부시간을 제일 많이 확보해뒀음요 1.시발점이랑 쎈...
-
한지 이마다 1회 실모 19분컷 만점. 이마다 1회는 이모다 시즌2들보다 좀 쉬운듯...
-
이번 9모 미적 10, 13, 14찍맞, 20, 21, 22, 28, 29, 30...
-
이감 6-3 5
커하ㅜㅜ
-
확통 블랭크만아니게해주새요
-
[단독] 용산 '7개월째 공석' 여가부 장관 인선 착수…전주혜 거론 1
대통령실이 7개월째 공석 중인 여성가족부 장관 후보자 인선에 본격 착수했다....
-
국어: 화법과 작문 100-98 국어 : 언어와 매체 97-96 수학 : 확률과...
-
2025학년도 정시 전형 - 서울대, 연세대, 고려대 0
안녕하세요 나무아카데미입니다! 어느덧 수능이 두 달도 채 안 남은 가을이 왔습니다....
-
https://orbi.kr/00069328023 꼭 파장이 0이 되어 확률분포가...
-
9모 84 국어 4등급인데 사설보면 사설에 절여진다는 말이 있잖아요 그게 저한테도...
-
근데 커피 주심...커피 원래 안 마시는데 버릴 수도 없고...쓰다;;
-
그냥 글이 안 보여서 못 읽겠는데 님들 댓글도 안 보임
-
27전국품절이라 27 18 먹던거 강제로 54..
-
작년에 맞춘거 못맞추면 어카지?싶어서 ㄹㅇ 가슴 쿵쾅댐
-
새기분 복습하자니 양이 좀 많고 그렇다고 기출 안 보자니 머리가 사설이 절여지는 거...
-
Goat
-
17회 뛰어넘는 것 같은데??? 풀릴 듯 말듯 안 풀려서 못푼 게 거의 10문제...망했다
-
잘하는 사람들 성적 보니까 의욕이 생기기는 커녕 자신감만 계속 꺾이는구만
-
초점 흐리게 해서 가까이 있는 거 오늘 못 본다는데 국어 극한 훈련 완전 럭비잖아?
-
전국씹덕연합에서 나기사 이미지 떨어뜨리지 말라고하네요 1
삼가겠스빈다
-
굉정히 탐이 나는데 못 사는구나
-
걍 반영비 다 똑같이 하고 같은 군에서 입시하면 좋겠다 3
입시가 너무 복잡한 게 원인이지 농어촌으로 맨날 싸우는 거 안 지겹노 텔그만 가도...
-
추천해주실 수 있나요 이제부터 1일 2실모로 기하 1 쟁취를.. 공도 해설보고도...
-
오이 씻구 나래~ 오이 씻구 나래~ 모에? 모에? 뀽?
-
그러니까 운동량이 감소해서 파장이 넓어지는건 확률분포가 넓게 퍼져있다는건데 그...
-
점심 ㅇㅈ 1
ㅈㄱㄴ
-
이사람 진짜 샤로스쿨임?
-
누가 더 잘싸움?
-
국어 > [강대모의고사K 7회] 공통, 화작 > [수능특강 독서] 1부 3강 2~3...
-
가천대 라인 0
궁금 서=가? 정상화 서울대 의대 어쩌구 취향차이
-
어제만해도 미칠 것 같았는데 이제 좀 덜 ㅈ같음 밀리의서재 구독해서 오디오북 듣고있는데 꽤 좋네
-
77인데 보정 무보정 각각 얼마뜰까요 19번을 쳐틀리네 진짜
-
애가 중간고사 준비중이라 풀어보고 있는데, 내신 기출이라 정답을 못구해서 헷갈린다고...
-
45문제 다 풀기 보다는 국어는 1지문 영어는 2문제 낭린다 생각하고 시험보기..?...
-
올해 6모 9모 문학은 안틀렸었는데 사설 푸니까 조금만 어렵게 나와도 너무 많이...
-
우리집 에어컨이 대단하네 슬슬 보낼때 됐는데 언제 바꿈...
-
물질파가 퍼져있다고 해서 위치를 모르는건 아니지않음? 0
물질파의 파장과 운동량이 반비례하는데 왜하필 물질파의 위치(파장)를 정확히 아는걸...
-
1문단에서 화제잡으려고 목숨거니까 글이 좀 뚫리는 느낌 문학은 도대체 어케빨리 잘풀지...
-
스카에서 쪽지랑 간식받았는데 전화번호는 없고 간식이랑 화이팅하란 말밖에 없음.......
-
어느정도 백분위 인가요
-
히힛 오줌발싸! 6
똥발싸!!!!!! 똥먹기!!!!
개추 눌렀다....
캬
일단 읽어보고 걔추
앞으로도 좋은 글 써볼게요 ㅎㅎ
ㄷㄷㄷ
갑종님이랑 생각이 거의 일치하는...
왜냐면 둘이 친구거등
저도 작년 9평 13번을 이렇게 푸는게 맞다고 생각했어서 근의 분리니 뭐니 말 많을때 잘 이해가 안되긴 했었어요
김현우 선생님이랑 완전히 똑같이 푸셨네요.. 칼럼 잘보고 갑니다!
15번 이거풀때 산술기하로 풀었는데 최솟값이라 풀린거겠죠
6평 말하시는거죠?
산술기하도 괜찮네요. 왜냐면 여러가지 조건이 딱 맞아 떨어져서 여기에 산술기하를 쓸 수 있습니다.
일단 x가 2보다 큰 부분을 봐야 하는데, 그게 x-2>0이어야 하는 산술기하 조건이랑 맞아떨어졌구요,
부등식에서 오른쪽 부분이 상수이기 때문에 최솟값만 보면 됩니다.
물론 좀 더 근본적으로는, 산술기하는 완전제곱식에서 나온 공식이기에 똑같다고 볼 수도 있지만
아무튼 아주 맘에드는 관점이네요!!
넹 6모 15번 x-2>0보다 큰상태여서 이거로 산술기하썼는데
해설강의같은거 보니까 다들 다르게풀어가지고 결국 똑같은이야기였네요
대범준 그래프 분리
첫 문제에서 a=±루트6 구하셨을 때 D/4 공식을 쓰셔는데, 미지수를 (x-2)로 해서 b'²-ac 로 바로 구하신건가요?
아! 근데 그렇게 해도 되는건가요? 제가 고1수학을 날림으로 배워서..
넵, 이해를 도울 수 있는 두 가지 관점을 소개해드리겠습니다
1. 평행이동.
x축과 만나지 않는 이차함수를 좌우로 평행이동해도 여전히 x축과 만나지 않는다. 따라서 해당 이차함수를 2만큼 왼쪽으로 이동시킨다면 3x제곱 +2ax+2이고, 여기에 판별식을 쓰면 된다.
2. 치환
x-2를 t라는 새로운 문자로 잡는다.
사실 1과 본질적으로 같다.
감사합니다!! 저는 x가 변수인 상황에서 판별식을 쓰는데, 2만큼 평행이동을 해도 똑같이 성립이 되는지 궁금했었는데 이해가 되네요! 정말 감사합니다 ㅎㅎ 덕분에 수준높은 풀이법 하나 배워갑니다 . 감사합니다!!
저도 굳이 근의 분리까지 안끌고가고 싶어서
저는 그냥 잘 모르겠으면 화끈하게 근의공식 때리고, 두 근이 모두 k보다 작아야한다면
D >=0인 경우, 그냥 더 큰 근이 k보다 작다! 라고 하게끔 가르쳤는데
기하학적인 풀이도 너무 좋은 듯 합니다 ㅎ
잘 보고 갑니다!
관찰중인 문자의 차수가 여러개가 아닌 이상 (예를 들면 식에 a도 있고 a제곱도 있는 경우), 위 기하적인 풀이가 근의 분리를 완전히 대체합니다
.
의견 공유 감사해요 ㅎㅎ
고정된 요소가 필요하다는 말씀 맞으실까요? 좋은 댓글 감사합니다 ㅎㅎ
오 이거 좋네요. 시간 단축 꿀일 듯.
+ 이번 6평 14번 부등식도, 부등식 여러개로 케이스 분류해서 끼워 맞추지 않고, 일차함수랑 이차함수 만나는 걸로 구할 수 있음!
정말감사합니다
오늘도 배워갑니다 감사합니다
많은 상황에서 상위 호환은 맞지만 계수의 꼴에 따라선 대체가 안 되는 경우도 있습니다!
(고정점 지나는 직선으로 해석이 안 되는 경우도 있음)
저도 위에 댓글에 달아놨는데, 그 경우에는 기하적 의미를 깔끔하게 부여할 수 없습니다
본문에도 추가해야겠네요
질질 쌌다.
미분을 활용하여 직선의 회전 이동을 관찰한다, 감사히 잘 읽었습니다!
좋은 글 감사합니다
선생님 진짜 미틴넘이시네요 미친초고수다