근의 분리 상위호환
과외준비를 하다가 이번 6모 15번과 작년 9모 13에가 어떤 관점이 동일하게 쓰인다는 것을 알았는데요,
특히 9모 13번을 이렇게 푸는 것은 처음 봤다고 하네요.
앞으로 근의분리는 쓰지 마세요. 오늘 알려드리는 이 방식이 근의 분리를 거의 완전히 대체할 수 있습니다
(글 맨 마지막에 조건 달아뒀습니다.)
사실 저는 그렇게 특이한 접근인지는 모르겠습니다. 수학(상)을 열심히 공부했다면 이게 가장 자연스러운 접근이죠. 아무튼 과외생을 보며 이걸 여러분께도 소개해드리면 나름 의미가 있겠다고 판단되어 글로 쓰게 되었습니다.
일단 이번 6모(2025학년도)입니다. 문제를 다 풀진 않을거고, 맨 마지막 부분만 볼게요. (나) 조건을 통해 k=2인 것까지 구한 상황입니다.
k=2니까 g(x)가 미분가능하려면 f(2)=2, f'(2)=2여야 합니다. 최고차항 계수가 1인것도 아니까, 문자 하나만 가지고 식을 세울 수 있습니다.
이렇게 말이죠.
(가) 조건에 의하면, 얘가 x가 2보다 큰 곳에서 항상 증가해야 합니다. 그럼 당연히 도함수 관찰을 해야겠죠.
아, 센스 있게 2만큼 왼쪽으로 평행이동해서 봐도 되는데(저도 풀 때 그렇게 했구요) 헷갈리는 독자도 있을 수 있기에 여기선 그대로 갈게요. 괜히 과정 추가하지 않겠습니다.
아무튼 미분해보겠습니다.
냅다 판별식 쓰면 안 된다는 것은 알고 계실겁니다.
함수가 x축과 두 번 만나지만 x가 2보다 클 때는 x축보다 위에 있을수도 있으니까요.
난 그냥 그렇게 해서 맞았는데? 하시는 분들은 운이 좋으신 겁니다. 이 문제에선 결국 그게 답이긴 하더라구요 ㅋㅋ
여기서 a 범위를 나눠서 푸는 분들도 있습니다.
그건 올바른 풀이지만, 완전히 상위호환인 다른 풀이가 있어요. 그걸 지금 알려드리겠습니다.
일단 부등식에서 모르는 문자가 있는 부분을 넘겨버립니다. 그 뒤에 기하적인 의미를 부여할겁니다.
왼쪽은 완벽하게 그릴 수 있는 이차함수고, 오른쪽은 (2,0)을 지나면서 a에 따라 기울기가 달라지는 직선이죠.
이때 “직선이 항상 이차함수보다 아래에 있어야 한다” 라고 해석해주시면 됩니다.
그럼 기울기가 점점 가파라지다가 딱 접하는 순간까지 가능하겠죠? 그때보다 기울기가 더 커지면 직선이 더 위에 있는 순간이 생깁니다.
반면 기울기가 음수라면 음의 무한대까지 계속 가능할 겁니다.
x가 2보다 큰 곳에서는 여전히 아래에 있기 때문이죠.
그럼 접하는 순간 계산해볼게요.
a는 플마 루트 6인데, 둘 중에서 우리가 원하는 순간은 -루트 6일겁니다. 그래야 빨간 직선의 기울기가 양수가 되기 때문이죠.
a의 범위는 -루트6보다 크다가 되겠네요.
2024년 9평 13번에도 이걸 적용해볼게요.
저도 이렇게 빨리 풀릴 줄 몰랐는데, 아주 빨리 풀 수 있습니다.
얘도 당연히 도함수를 관찰해야겠죠.
연두색 영역에 도함수가 그려져야 합니다. 파란색 함수처럼요.
반드시 (-1,0)을 지나야 하겠네요.
왼쪽 함수에 대입해봅니다.
b=2a-1이 나오겠네요.
도함수의 오른쪽부터 관찰해보겠습니다. 아까 했던 거 똑같이 할게요.
a범위 구했습니다.
왼쪽에서 새로 추가되는 조건은 없습니다. 이미 이 조건만으로도 왼쪽 구간 함수는
y절편이 양수고
(-1,0)을 지나므로
아까 말한 연두 구간에 그려집니다.
우리가 구해야 하는건 a+b의 최대최소 즉, 3a-1 의 최대최소값입니다. a 범위를 아니까 다 구한 셈이네요.
네 여기까지입니다.
부등식으로 인식한 뒤에 약간의 변형을 가해주어서 기하적으로 관찰하는 방법을 알려드렸습니다.
문자범위 나눠서 하는 것보다 훨씬 빠르고 실수 확률이 적은 풀이라 생각합니다.
한 마디 덧붙이자면, a로 묶인 부분이 기하적으로 깔끔하게 해석이 가능할 때 이 방식을 쓸 수 있습니다.
그럼 언제 깔끔한 해석이 불가할까요?
a의 계수가 이차도 있고.. 일차도 있고 이런 식으로 여러 개가 있다면 기하적 의미를 부여하기 힘들 겁니다.
즉 문자 계수가 하나로 한정된 상황에서는
이 방식이 근의 분리를 완전히 대체한다고 말할 수 있겠네요.
다음에 또 좋은 글로 찾아뵙겠습니다. 감사합니다.
0 XDK (+1,010)
-
1,000
-
10
-
애가 중간고사 준비중이라 풀어보고 있는데, 내신 기출이라 정답을 못구해서 헷갈린다고...
-
45문제 다 풀기 보다는 국어는 1지문 영어는 2문제 낭린다 생각하고 시험보기..?...
-
올해 6모 9모 문학은 안틀렸었는데 사설 푸니까 조금만 어렵게 나와도 너무 많이...
-
우리집 에어컨이 대단하네 슬슬 보낼때 됐는데 언제 바꿈...
-
물질파가 퍼져있다고 해서 위치를 모르는건 아니지않음? 0
물질파의 파장과 운동량이 반비례하는데 왜하필 물질파의 위치(파장)를 정확히 아는걸...
-
1문단에서 화제잡으려고 목숨거니까 글이 좀 뚫리는 느낌 문학은 도대체 어케빨리 잘풀지...
-
스카에서 쪽지랑 간식받았는데 전화번호는 없고 간식이랑 화이팅하란 말밖에 없음.......
-
어느정도 백분위 인가요
-
히힛 오줌발싸! 6
똥발싸!!!!!! 똥먹기!!!!
-
다 같이 재밌게 놀고 각자 집으로 갔는데 그걸 두고 왜 도망갔냐고 하는 게 무슨...
-
이대 농어촌이 특히 사기인거임 보통 농어촌 쓰면 한급간 높아지는데 이대는 3~4급간...
-
어려웠었는데 실력이 늘었나봐요 자만하지 않아야겠네요
-
점심 뭐먹지 6
삼겹살덮밥 묵을가..
-
운동량이 0이되면 파장이 무한대가 되고 파장이 0이 되면 운동량이 무한대고 되고...
-
작수 24514 9모 34434 내신 2.7 대학 어디 갈 수 있나요? 작년에 건대...
-
책상에 엎드려서 잘때 가위눌림 많이 느끼는거 정상임? 6
평생 가위눌림이라는 거 경험 못했는데 책상에 엎드려서 쪽잠이라도 자려고 하면 가위...
-
이왜진?
-
있나요?
-
쉬운거 맞나요? 12회는 시간 압박꽤 됬었는데 3회는 다풀고 20분가량 남아서.....
-
수학 실모 2
한달전부터는 실모도 좀 풀어볼 예정인데 3~4등급대한테 적당한 '이건 꼭...
-
ㅅㅂ 올해 수능 절 볼 수 있겠지
-
어떤건 할만하고 어떤건 디게 어렵다 ㅜㅜ 시간 안에 못 풀겠어 근디 리트는 로스쿨...
-
내 사고방식으로는 이런논의가 나온것만으로 얼탱이가없는데 이게어떻게 아무문제가없이...
-
문학점수가 이상해요....
-
내년에 현정훈쌤 강기원쌤 시대 라이브 들으려고 하는데 컨텐츠들 가격이 어떻게 되나요??
-
생윤 질문드립니다 13
3번 선지에서 “부여”가 잘못된거 아닌가요?
-
언제올리냐고 강게이
-
시간안에 빨리 풀어야 하는 이유가 뭐지?
-
어느정도 양 푸는게 양치기임?
-
잠을 못 잤어 2
30분 잤나 분명 12시 부터 누웠는데 잠이 안오더라… 눈만 감고 있었음 아침 먹고 다시 자야겠다
-
나같이 뇌용량 딸리는 사람은 끝까지 다보면 처음게 생각이 안난다고
-
오 시발! 10
이감 역대급 병123신 점수를 받았어요! 빨랑 치고 넘어가려고 했는데 하루종일...
-
현장응시 국어 85 수학 68 생윤 47 정법 41
-
고전소설이 진짜 너무 오래걸리는데 어뜨카죠?… 오래 걸리면 다 맞기는 해요 또...
-
션티 들으시는 분들 abps체화하는데 얼마나 걸리셨나요 3
체화하려니까 생각보다 어렵네요..
-
물리학 I 6
등가속도 운동에서 시간에 따른 구간 이동 거리는 일정하게 증가한다. o/x
-
밤샜는데 심장이 울렁이고 가슴이아픔 위험한거임?
-
[자료투척] 출제예상 1순위 문학작품 기출문제 분석지 pdf 첨부 4
올해 출제 1순위 현대시 작품 기출문학입니다 (물론 출제진이 이글보면...
-
그 담에 재취업해서 +1하는게 오히려 더 낫지 않을까? 보통 반대로 하던데
-
간쓸개 댕재밌네 2
독서 답 1번인거 많아서 푸는맛 쩔어요
-
전 8~9%봅니다
-
어제는 통으로 날렦고 오늘 병원가서 수액맞고 집왔는데 오늘도 그낭 쉬는게...
-
공부한게 없어서 안볼까 고민중….
-
날짜 뭔데 이렇게빨리가
-
상상 파이널 2
상상 파이널하고 상상 베오베하고 겹치는 것 있나유? 파이널은 회차 뭐뭐들었는지...
개추 눌렀다....
캬
일단 읽어보고 걔추
앞으로도 좋은 글 써볼게요 ㅎㅎ
ㄷㄷㄷ
갑종님이랑 생각이 거의 일치하는...
왜냐면 둘이 친구거등
저도 작년 9평 13번을 이렇게 푸는게 맞다고 생각했어서 근의 분리니 뭐니 말 많을때 잘 이해가 안되긴 했었어요
김현우 선생님이랑 완전히 똑같이 푸셨네요.. 칼럼 잘보고 갑니다!
15번 이거풀때 산술기하로 풀었는데 최솟값이라 풀린거겠죠
6평 말하시는거죠?
산술기하도 괜찮네요. 왜냐면 여러가지 조건이 딱 맞아 떨어져서 여기에 산술기하를 쓸 수 있습니다.
일단 x가 2보다 큰 부분을 봐야 하는데, 그게 x-2>0이어야 하는 산술기하 조건이랑 맞아떨어졌구요,
부등식에서 오른쪽 부분이 상수이기 때문에 최솟값만 보면 됩니다.
물론 좀 더 근본적으로는, 산술기하는 완전제곱식에서 나온 공식이기에 똑같다고 볼 수도 있지만
아무튼 아주 맘에드는 관점이네요!!
넹 6모 15번 x-2>0보다 큰상태여서 이거로 산술기하썼는데
해설강의같은거 보니까 다들 다르게풀어가지고 결국 똑같은이야기였네요
대범준 그래프 분리
첫 문제에서 a=±루트6 구하셨을 때 D/4 공식을 쓰셔는데, 미지수를 (x-2)로 해서 b'²-ac 로 바로 구하신건가요?
아! 근데 그렇게 해도 되는건가요? 제가 고1수학을 날림으로 배워서..
넵, 이해를 도울 수 있는 두 가지 관점을 소개해드리겠습니다
1. 평행이동.
x축과 만나지 않는 이차함수를 좌우로 평행이동해도 여전히 x축과 만나지 않는다. 따라서 해당 이차함수를 2만큼 왼쪽으로 이동시킨다면 3x제곱 +2ax+2이고, 여기에 판별식을 쓰면 된다.
2. 치환
x-2를 t라는 새로운 문자로 잡는다.
사실 1과 본질적으로 같다.
감사합니다!! 저는 x가 변수인 상황에서 판별식을 쓰는데, 2만큼 평행이동을 해도 똑같이 성립이 되는지 궁금했었는데 이해가 되네요! 정말 감사합니다 ㅎㅎ 덕분에 수준높은 풀이법 하나 배워갑니다 . 감사합니다!!
저도 굳이 근의 분리까지 안끌고가고 싶어서
저는 그냥 잘 모르겠으면 화끈하게 근의공식 때리고, 두 근이 모두 k보다 작아야한다면
D >=0인 경우, 그냥 더 큰 근이 k보다 작다! 라고 하게끔 가르쳤는데
기하학적인 풀이도 너무 좋은 듯 합니다 ㅎ
잘 보고 갑니다!
관찰중인 문자의 차수가 여러개가 아닌 이상 (예를 들면 식에 a도 있고 a제곱도 있는 경우), 위 기하적인 풀이가 근의 분리를 완전히 대체합니다
.
의견 공유 감사해요 ㅎㅎ
고정된 요소가 필요하다는 말씀 맞으실까요? 좋은 댓글 감사합니다 ㅎㅎ
오 이거 좋네요. 시간 단축 꿀일 듯.
+ 이번 6평 14번 부등식도, 부등식 여러개로 케이스 분류해서 끼워 맞추지 않고, 일차함수랑 이차함수 만나는 걸로 구할 수 있음!
정말감사합니다
오늘도 배워갑니다 감사합니다
많은 상황에서 상위 호환은 맞지만 계수의 꼴에 따라선 대체가 안 되는 경우도 있습니다!
(고정점 지나는 직선으로 해석이 안 되는 경우도 있음)
저도 위에 댓글에 달아놨는데, 그 경우에는 기하적 의미를 깔끔하게 부여할 수 없습니다
본문에도 추가해야겠네요
질질 쌌다.
미분을 활용하여 직선의 회전 이동을 관찰한다, 감사히 잘 읽었습니다!
좋은 글 감사합니다
선생님 진짜 미틴넘이시네요 미친초고수다